!1000011954|281x500 [Link Silindi]10 11 12 13 14 15 16 17 18 çözermisin
10-18. Üslü İfadeler ve Basamak Soruları Çözümü
İçindekiler
1. Soru 10
Soru:
2^x = a,\;3^x = b olduğuna göre 72^x ifadesinin a ve b cinsinden eşitini bulunuz.
Çözüm Adımları:
- 72 = 2^3 \cdot 3^2
- 72^x = (2^3\cdot3^2)^x = 2^{3x}\cdot 3^{2x}
- 2^{3x} = (2^x)^3 = a^3,\quad 3^{2x} = (3^x)^2 = b^2
- Dolayısıyla
72^x = a^3\,b^2
Cevap: \mathbf{a^3 b^2}
2. Soru 11
Soru:
5^x = a,\;5^y = b olduğuna göre 5^{\,x+y} ifadesinin a ve b cinsinden eşitini seçeneklerden hangisidir?
Çözüm Adımları:
- 5^{\,x+y} = 5^x \cdot 5^y = a\cdot b
Cevap: \mathbf{a\,b}
3. Soru 12
Soru:
3^a = x olduğuna göre 27^{\,a-1} ifadesinin x cinsinden eşitini bulunuz.
Çözüm Adımları:
- 27 = 3^3
- 27^{\,a-1} = (3^3)^{\,a-1} = 3^{\,3a - 3} = 3^{3a}/3^3
- 3^{3a} = (3^a)^3 = x^3,\quad 3^3 = 27
- Sonuç:
27^{\,a-1} = \dfrac{x^3}{27}
Cevap: \displaystyle \mathbf{\frac{x^3}{27}}
4. Soru 13
Soru:
“Bir çokgen içine yazılan A sayısı, n kenarlı bir çokgen için n\cdot A^n sayısını oluşturuyor.
Örnek: ▲ sembolü ile 3\cdot A^3, ■ sembolü ile 4\cdot A^4 gösteriliyor.
Buna göre ▲ · ■ çarpımının değerini gösteren sembol hangisidir?”
Çözüm Adımları:
- ▲ = 3\cdot A^3
- ■ = 4\cdot A^4
- Çarpım = (3A^3)\,(4A^4) = 12\,A^7
- 12\cdot A^7 ifadesi, 12 kenarlı (dodekagon) sembolü ile gösterilir.
Cevap: \boxed{\text{12 kenarlı çokgen (dodekagon) sembolü}}
5. Soru 14
Soru:
2^2\;\cdot\;5^3 sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm Adımları:
- 2^2 = 4,\quad 5^3 =125
- Çarpım: 4\cdot125=500
- 500 sayısı 3 basamaklıdır.
Cevap: \mathbf{3}
6. Soru 15
Soru:
2^2\;\cdot\;5^3 \;-\;1 sayısının sondan kaç basamağı 9’dur?
Çözüm Adımları:
- 2^2\cdot5^3 = 4\cdot125 =500
- 500-1=499
- 499 sayısının sondan itibaren iki basamağı “9”dur.
Cevap: \mathbf{2}
7. Soru 16
Soru:
48\;\cdot\;125\;\cdot\;45 sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm Adımları:
- 48\cdot125=6000
- 6000\cdot45 = 270\,000
- 270\,000 sayısı 6 basamaklıdır.
Cevap: \mathbf{6}
8. Soru 17
Soru:
54\;\cdot\;3\;\cdot\;625\;\cdot\;64\;\cdot\;150 çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözüm Adımları (Asal Üs Analizi):
- 54 = 2^1\cdot3^3
- 3 = 3^1
- 625=5^4
- 64 =2^6
- 150=2^1\cdot3^1\cdot5^2
Toplam 2 üssü: 1+0+0+6+1 =8
Toplam 5 üssü: 0+0+4+0+2 =6
Trailing zero sayısı = \min(8,6)=6
Cevap: \mathbf{6}
9. Soru 18
Soru:
8^{11}\;\cdot\;125^{12}\;\cdot\;10^{7}\;-\;1 sayısının sondan kaç basamağı 9’dur?
Çözüm Adımları:
- 8^{11}=2^{33},\quad125^{12}=5^{36},\quad10^7=2^7\cdot5^7
- Çarpım: 2^{33+7}\cdot5^{36+7}=2^{40}\cdot5^{43}
- 2^{40}\cdot5^{43}=5^3\cdot(2^{40}5^{40})=125\cdot10^{40}
- M=125\underbrace{00\ldots0}_{40\text{ sıfır}}
- N=M-1=124\underbrace{99\ldots9}_{40\text{ dokuz}}
Sonuçta sondan itibaren 40 basamak “9” olur.
Cevap: \mathbf{40}
10. Özet Tablosu
| Soru No | İfade | Sonuç / Cevap |
|---|---|---|
| 10 | 72^x | a^3\,b^2 |
| 11 | 5^{x+y} | a\,b |
| 12 | 27^{\,a-1} | \dfrac{x^3}{27} |
| 13 | ▲·■ = (3A^3)(4A^4) | 12-kenarlı çokgen sembolü |
| 14 | 2^2\cdot5^3 | 3 basamaklı |
| 15 | 2^2\cdot5^3-1 | 2 basamak “9” |
| 16 | 48\cdot125\cdot45 | 6 basamaklı |
| 17 | 54\cdot3\cdot625\cdot64\cdot150 | 6 sondan “0” |
| 18 | 8^{11}\!\cdot\!125^{12}\!\cdot\!10^7-1 | 40 sondan “9” |
Başarılar!
@Kubra_Sahin
Matematik Uslu Sorularını Çözme
İçindekiler
10. Soru
Verilen:
2^x = a \quad \text{ve} \quad 3^x = b
Buna göre,
72^x \quad \text{ifadesinin} \quad a \quad \text{ve} \quad b \quad \text{türünden eşitini bulunuz}.
Çözüm:
İlk olarak 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
72 = 2^3 \times 3^2
Bu yüzden,
72^x = (2^3 \times 3^2)^x = 2^{3x} \times 3^{2x}
Verilenlere göre,
2^x = a \Rightarrow 2^{3x} = (2^x)^3 = a^3
3^x = b \Rightarrow 3^{2x} = (3^x)^2 = b^2
Bu durumda,
72^x = a^3 \times b^2
11. Soru
Verilen:
5^x = a, \quad 5^y = b
Buna göre,
5^{x+y} \quad \text{ifadesinin} \quad a \quad \text{ve} \quad b \quad \text{türünden} \quad \text{eşiti} \quad \text{hangisidir?}
Çözüm:
Üslerin toplamının çarpım olduğunu biliyoruz:
5^{x+y} = 5^x \times 5^y
Yerine koyarsak:
5^{x+y} = a \times b
Cevap: A) a \cdot b
12. Soru
Verilen:
3^a = x
Aşağıdakilerden hangisi
27^{a-1}
ifadesinin x türünden eşitidir?
Çözüm:
Öncelikle 27 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
27 = 3^3
Bu yüzden,
27^{a-1} = (3^3)^{a-1} = 3^{3(a-1)} = 3^{3a - 3} = 3^{3a} \times 3^{-3}
Burada,
3^a = x \Rightarrow 3^{3a} = (3^a)^3 = x^3
Aynı zamanda,
3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}
Buna göre,
27^{a-1} = x^3 \times \frac{1}{27} = \frac{x^3}{27}
Cevap: A) \frac{x^3}{27}
13. Soru
Bir poligon içine yazılan A sayısı, n kenar sayısı olmak üzere,
n \cdot A^n
sayısını oluşturuyor.
Örneğin,
\triangle sembolü ile 3 \cdot A^3,
\square sembolü ile 4 \cdot A^4 sayısı gösterilmektedir.
Soru:
Buna göre,
\triangle \times \square
çarpımının değerini gösterecek sembolü bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle,
\triangle = 3 \cdot A^3
\square = 4 \cdot A^4
Çarpımları:
\triangle \times \square = (3 \cdot A^3) \times (4 \cdot A^4) = (3 \times 4) \times A^{3+4} = 12 \cdot A^7
Bu ifade hangi sembolü gösterir?
Şeklinde,
n \cdot A^n = 12 \cdot A^7
Burada n=12 ve üs 7.
Buradan çıkan yeni sembol: bir 12 kenarlı poligon, yani 12-kenerli çokgen gösteriyor.
14. Soru
2^2 \times 5^3
sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm:
Öncelikle sayının değerini hesaplayalım:
2^2 = 4, \quad 5^3 = 125
Bunları çarparsak:
4 \times 125 = 500
500 sayısı 3 basamaklıdır.
15. Soru
2^2 \times 5^3 - 1
sayısının sondan kaç basamağı 9’dur?
Çözüm:
İlk olarak,
2^2 \times 5^3 = 4 \times 125 = 500
Sonra,
500 - 1 = 499
Sayının sondan 2 basamağı 9’dur: “99”
16. Soru
48.125.45
sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm:
Sayının virgüllerle ayrılmış hali anlaşılıyor, bunları çarpmamız gerekiyor:
48 \times 125 \times 45
Hesaplayalım:
-
48 \times 125
48 \times 100 = 4800
48 \times 25 = 1200
Toplam = 4800 + 1200 = 6000 -
6000 \times 45
6000 \times 40 = 240,000
6000 \times 5 = 30,000
Toplam = 240,000 + 30,000 = 270,000
Sonuç: 270,000
Basamak sayısı:
270,000 sayısı 6 basamaklıdır.
17. Soru
54 \times 3 \times 625 \times 64 \times 150
çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözüm:
Sondan gelen sıfırların sayısı, çarpımda bulunan 10’ların kuvvetine bağlıdır. 10 = 2 \times 5 olduğu için, 2 ve 5 çiftlerinin sayısını bulmalıyız.
- Önce her sayının asal çarpanlarını yazalım:
| Sayı | Asal Çarpanları |
|---|---|
| 54 | 2 \times 3^3 |
| 3 | 3 |
| 625 | 5^4 |
| 64 | 2^6 |
| 150 | 2 \times 3 \times 5^2 |
- Şimdi bütün 2’lerin ve 5’lerin üstlerini toplayalım:
Toplam 2 sayısı:
54: 2^1, \quad 64: 2^6, \quad 150: 2^1 \Rightarrow 1 + 6 + 1 = 8
Toplam 5 sayısı:
625: 5^4, \quad 150: 5^2 \Rightarrow 4 + 2 = 6
- Sondan gelen sıfırları sayısı, 2 ve 5 çiftinin en az olduğu değer kadar olur. Yani:
\min(8, 6) = 6
Sonuç: Çarpımın sondan 6 basamağı sıfırdır.
18. Soru
8^{11} \times 125^{12} \times 10^{7} - 1
sayısının sondan kaç basamağı 9’dur?
Çözüm:
Önce sayının toplamını inceleyelim.
- Asal çarpanlara ayıralım:
8 = 2^3 \Rightarrow 8^{11} = (2^3)^{11} = 2^{33}
125 = 5^3 \Rightarrow 125^{12} = (5^3)^{12} = 5^{36}
10 = 2 \times 5 \Rightarrow 10^{7}= 2^7 \times 5^{7}
- Tüm ifadeyi birleştirelim:
8^{11} \times 125^{12} \times 10^{7} = 2^{33} \times 5^{36} \times 2^{7} \times 5^{7} = 2^{40} \times 5^{43}
- Sondan kaç sıfır olduğunu, 2 ve 5 çiftlerinin en azı belirler:
\min(40,43) = 40
-
Sonuç olarak sayı sonu 40 sıfırla biter.
-
Sonra sayının 1 eksiltilmesi:
( \ldots \text{sayı} \ldots 000\ldots 000 ) - 1 = \ldots 999\ldots999
- Sondan 40 basamak 9 olur.
Özet Tablosu
| Soru No | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 10 | 72^x = a^3 b^2 | a^3 b^2 |
| 11 | 5^{x+y} = a \times b | a \cdot b |
| 12 | 27^{a-1} = \frac{x^3}{27} | \frac{x^3}{27} |
| 13 | \triangle \times \square = 12 \cdot A^7 | 12 kenarlı poligon |
| 14 | 2^2 \times 5^3 = 500 | 3 basamaklı |
| 15 | 2^2 \times 5^3 - 1 = 499 | Son iki basamağı 9 |
| 16 | 48 \times 125 \times 45 = 270000 | 6 basamaklı |
| 17 | Sondan sıfır sayısı \min(2\textrm{'ler},5\textrm{'ler})=6 | 6 sıfır |
| 18 | Sondan 40 sıfır, -1 işlemi sonrası 40 basamak 9 | 40 basamak 9 |
Eğer daha detaylı herhangi bir sorunun çözümünü istersen, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım @Kubra_Sahin