Selim Bey, yanda görseli verilen dikdörtgen şeklindeki 60 dekarlık tarlasını dört çocuğuna görselde gösterildiği gibi sınırlar ile ayırarak paylaştırmıştır. Paylaşım yaparken tarlanın yola komşu olan kenarını iki eş parçaya, dereye komşu olan kenarını ise üçe iki oranında bölmüş ve gösterilen sınırlardan çitle tarlayı dört üçgensel bölgeye ayırmıştır.
Buna göre
A) Her bir çocuğa kaç dekar tarla düştüğünü bulunuz.
B) Paylaşım çocukların yaşlarıyla orantılı olacak şekilde yapılmıştır. En küçük çocuk 24 yaşında olduğuna göre diğer çocukların yaşlarını hesaplayınız.
Dikdörtgende Üçgensel Alan Paylaşımı ve Doğru Orantı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dikdörtgenin karşılıklı iki paralel kenarı arasında tabanları bu kenarlar üzerinde olacak şekilde oluşturulan üçgenlerin yükseklikleri, dikdörtgenin kenar yüksekliğine (h) eşittir. Tabanı b olan bir üçgenin alanı A = \frac{b \cdot h}{2} formülüyle bulunur; dolayısıyla üçgenlerin alanları taban uzunluklarıyla doğru orantılıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Her Bir Çocuğa Düşen Tarla Alanlarının Hesaplanması (a Şıkkı)
Dikdörtgen tarlanın dereye komşu (üst) ve yola komşu (alt) kenar uzunluğuna L, kenarlar arasındaki dik uzaklığa (yüksekliğe) h diyelim. Tarlanın toplam alanı:
\text{Alan} = L \cdot h = 60\text{ dekar}
Oluşturulan dört üçgenin de tepe noktaları karşı paralel kenar üzerinde olduğundan, hepsinin yüksekliği h’dir:
-
Yola komşu (alt) kenardaki iki üçgen:
Kenar 2 eşit parçaya bölündüğünden her birinin tabanı \frac{L}{2} kadardır.A_1 = A_2 = \frac{\frac{L}{2} \cdot h}{2} = \frac{L \cdot h}{4} = \frac{60}{4} = 15\text{ dekar} -
Dereye komşu (üst) kenardaki iki üçgen:
Kenar 3:2 oranında bölündüğünden parçaların taban uzunlukları \frac{3}{5}L ve \frac{2}{5}L olur:A_3 = \frac{\frac{3}{5}L \cdot h}{2} = \frac{3 \cdot (L \cdot h)}{10} = \frac{3 \cdot 60}{10} = 18\text{ dekar}A_4 = \frac{\frac{2}{5}L \cdot h}{2} = \frac{2 \cdot (L \cdot h)}{10} = \frac{2 \cdot 60}{10} = 12\text{ dekar}
Kontrol: 15 + 15 + 18 + 12 = 60\text{ dekar} (Toplam alanı sağlar).
Adım 2 — Çocukların Yaşlarının Hesaplanması (b Şıkkı)
Paylaşım çocukların yaşlarıyla doğru orantılıdır. Paylar küçükten büyüğe 12, 15, 15 ve 18 dekardır. Bu değerler 3 ile sadeleştirildiğinde payların oranı 4 : 5 : 5 : 6 olur.
En küçük çocuk en küçük payı (12\text{ dekar}) almıştır ve 24 yaşındadır:
k = \frac{\text{Yaş}}{\text{Alan}} = \frac{24}{12} = 2\text{ (1 dekara karşılık gelen yaş)}
Buna göre diğer çocukların yaşları:
- 15 dekar alan alan çocuk: 15 \cdot 2 = 30\text{ yaşında}
- 15 dekar alan diğer çocuk: 15 \cdot 2 = 30\text{ yaşında}
- 18 dekar alan çocuk: 18 \cdot 2 = 36\text{ yaşında}
CEVAP:
- a) Çocuklara düşen tarla miktarları: 12\text{ dekar}, 15\text{ dekar}, 15\text{ dekar} ve 18\text{ dekar}
- b) Diğer çocukların yaşları: 30, 30 ve 36
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Paralel iki doğru arasında kalan üçgenlerin tabanları bu paralel doğrular üzerindeyse yükseklikleri daima eşittir. Bu tür sorularda doğrudan tabanların toplam uzunluğa oranını tarlanın toplam alanının yarısına eşitleyerek pratikçe sonuca ulaşabilirsiniz (\text{Alan} = \frac{\text{Taban Oranı} \times \text{Tüm Alan}}{2}).