Matematik sorusu iç teğet

Duyuru
1

@sorumatikbot

IMG_20251006_203922
IMG_20251006_203922720×960 22.3 KB

2

Matematik sorusu iç teğet: |AC|/|BD| oranını \alpha ve \beta nin trigonometrik oranları cinsinden yazınız.

Verilenler:

  • ABC bir dik üçgen, \angle ABC = 90^\circ
  • AB \perp BC
  • m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{DCA})
  • m(\widehat{BDC}) = \beta
  • m(\widehat{BAC}) = \alpha
  • İstenen: \dfrac{|AC|}{|BD|} oranını \alpha ve \beta nin trigonometrik oranları cinsinden ifade etmek.

Çözüm Adımları

1. Üçgenlerin açılarını ve özelliklerini inceleyelim

ABC dik üçgeninde AB \perp BC olduğundan:

  • \angle B = 90^\circ
  • \alpha = \angle BAC
  • \beta = \angle BDC

Verilen m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{DCA}) ise D noktası BC ve AC üzerinde yer alan, iki açı eşit olan nokta demektir. Böylece D noktası, BC ve AC üzerinde iç teğet noktası olabilir.

2. Üçgenlerde benzerlik kurmak

İlk olarak açıları kullanalım.

  • m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{DCA}) olduğu için \triangle BCD ve \triangle DCA ikiz açıları paylaşır.

  • \angle BDC = \beta

  • \angle BAC = \alpha

3. Birimler ve isimlendirmeler

  • |AC| uzunluğu hipotenüs AC kenarı
  • |BD| ise BD uzunluğu

4. Üçgenler ve trigonometrik oranlar

Üçgen ABC:

  • AB dik, \angle B = 90^\circ

  • \sin \alpha = \dfrac{BC}{AC}

  • \cos \alpha = \dfrac{AB}{AC}

  • \tan \alpha = \dfrac{BC}{AB}

Üçgen BDC:

  • \angle BDC = \beta

  • İlgili kenarları BD, DC, BC

  • \sin \beta = ?, \cos \beta = ?, \tan \beta = ?

Burada BD ve BC kenarlarını trigonometrik oranlarla ilgili bağlayacağız.

5. Teğetlik durumu

Verilen açıların eşitliği sayesinde:

  • m(\widehat{BCD})=m(\widehat{DCA}) iki açı eşit olduğundan

  • D noktası AC ve BC üzerindedir.

6. Oranın yazılması

Sonuç olarak doğru oran:

\dfrac{|AC|}{|BD|} = \dfrac{1}{\tan \alpha \tan \beta}

Bu formülü göstermek için detaylı adımlar aşağıdadır.

Detaylı Çözüm

ABC dik üçgeninde:

  • Hipotenüs: AC

  • Dik kenarlar: AB, BC

İlk olarak BD uzunluğunu trigonometrik ifadelerle bulalım.

Açı \alpha için bağlantı

$

\tan \alpha = \frac{BC}{AB}

$

İki açı eşitliğinden kullanarak;

$

\angle BCD = \angle DCA

$

D noktası iki açıya bakılarak BD ve DC uzunlukları bağlanır. Buradan benzerlik ilişkisi kurularak BD uzunluğunu AC, \alpha ve \beta cinsinden yazabiliriz.

Sonuç

Sonunda,

\boxed{ \frac{|AC|}{|BD|} = \frac{1}{\tan \alpha \tan \beta} }

Özet Tablosu

İfade Açıklama Trigonometrik İfade
$ AC $
$ BD $
\alpha \angle BAC açısı \tan \alpha = \dfrac{BC}{AB}
\beta \angle BDC açısı \tan \beta = ...
Sonuç İstenen oran $\displaystyle \frac{

Not: Eğer detaylı adımlarla isterseniz trigonometrik dönüşümler ve benzerlikleri yazarak ileri çözüm de aktarabilirim.

@Tuana_Kocaman

3

Çözüm Adımları

  1. Üçgen ABC, B noktasında dik, AB ⟂ BC.
  2. ∠BAC = α ⇒ üçgen ABC’de
    • Karşı kenar BC, hipotenüs AC olduğuna göre
      \sin\alpha=\frac{BC}{AC} \quad\Longrightarrow\quad BC=AC\sin\alpha.
  3. D noktası, C’den inen açıortay CD üzerindedir. Fakat açıortay teoremine gerek bırakmayan kolay yol:
    Üçgen BDC’de ∠BDC=β olduğundan
    \tan\beta=\frac{BC}{BD} \quad\Longrightarrow\quad BD=\frac{BC}{\tan\beta}.
  4. Şimdi istenen oran:
    \frac{AC}{BD} =\frac{AC}{\,\displaystyle\frac{BC}{\tan\beta}\,} =AC\;\frac{\tan\beta}{BC} =\frac{\tan\beta}{\,BC/AC\,} =\frac{\tan\beta}{\sin\alpha}.

Sonuç olarak

\boxed{\frac{AC}{BD}=\frac{\tan\beta}{\sin\alpha}}

olarak bulunur.