A) 4f(x) -1 18. f(0) = kaçtır? A) 1 B 10 x² +3x+2 olduğuna göre, f(1) + f(2) +. . + f(7) toplam 2 1 11 3 D 12 1 2 B) 2[1(%)1 4 C C) 13 Matematik • Test 44 5 B 3 14 8 E) 4(f(0 6 E C) 4f(3) D) 15 7 D 16 89 B 17 D 18
Matematik Sorusu: f(1) + f(2) + … + f(7) Toplamı Kaçtır?
Önemli Noktalar
- Fonksiyon f(x) = 1 / (x² + 3x + 2) olarak verilmiştir.
- Paydanın çarpanlarına ayrılması: x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2).
- Toplam değer: f(1) + f(2) + ... + f(7) istenmektedir.
Fonksiyon, payda parçalara ayrılıp kısmi kesirler yöntemiyle açılabilir. Sonra her terim ayrı ayrı toplanarak sonuç bulunur.
İçindekiler
- Problemin Analizi ve Payda Parçalama
- Kısmi Kesir Ayrıştırması ve Toplama İşlemi
- Kesin Sonuç ve Özet
- Sık Sorulan Sorular
1. Problemin Analizi ve Payda Parçalama
Verilen fonksiyon:
f(x) = \frac{1}{x^2 + 3x + 2}
Öncelikle paydayı çarpanlarına ayıralım:
x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)
Bu durumda:
f(x) = \frac{1}{(x+1)(x+2)}
Amaç:
S = f(1) + f(2) + \cdots + f(7) = \sum_{x=1}^{7} \frac{1}{(x+1)(x+2)}
2. Kısmi Kesir Ayrıştırması ve Toplama İşlemi
Kısmi kesir ayrıştırması yapalım:
\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}
Sabitleri bulalım:
1 = A(x+2) + B(x+1)
Her x için eşit olmalı:
A(x+2) + B(x+1) = 1
x = -1 için:
1 = A(-1 + 2) + B(0) = A \times 1 \implies A = 1
x = -2 için:
1 = A(0) + B(-2 + 1) = B \times (-1) \implies B = -1
Böylece:
f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}
Toplama işlemini açalım:
S = \sum_{x=1}^{7} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right)
Burada terimler ardışık olarak birbirini yok eder:
S = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18}
3. Kesin Sonuç ve Özet
\boxed{\sum_{x=1}^7 f(x) = \frac{7}{18}}
Sık Sorulan Sorular
1. Kısmi kesir ayrıştırması nedir?
Bir rasyonel fonksiyonun paydasındaki çok terimli çarpanlara ayrılarak basit fraksiyonlar şeklinde yazılmasıdır. Bu, toplam gibi işlemlerde kolaylık sağlar.
2. Neden terimler birbirini yok etti?
Serinin açılımında her negatif terim bir sonraki pozitif terimi iptal etti. Bu duruma “teleskopik seri” denir.
3. Bu toplam diğer x değerleri için de uygulanabilir mi?
Evet, benzer çarpanlı paydalı fonksiyonların toplama işlemi için kısmi kesirler kullanılır ve genellikle teleskopik seri oluşur.
Sonraki Adımlar
Bu tür problemler için kısmi kesir ayrıştırmasının farklı örneklerini çözelim mi? Ya da tersine, kısmi kesirlerle sumasyon problemlerini içeren daha zor bir soru ister misiniz?
Soru:
f(x)=\frac{1}{x^2+3x+2} olduğuna göre
f(1)+f(2)+\dots+f(7) toplamı kaçtır?
Önemli Noktalar
- x^2+3x+2 ifadesi (x+1)(x+2) olarak faktörleşir.
- Kısmi kesir yöntemiyle 1/[(n+1)(n+2)] = 1/(n+1) – 1/(n+2) elde edilir.
- Telescoping toplamla ara terimler iptal edilerek sonuç hızla bulunur.
Telescoping yöntemiyle f(1)+f(2)+…+f(7)=\tfrac{7}{18} (D şıkkı).
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Faktörize etmex^2+3x+2 = (x+1)(x+2)
- Kısmi kesir ayrımı\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}
- Telescoping toplam\sum_{n=1}^7 \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^7 \Bigl(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\Bigr) = \Bigl(\frac12 - \frac{1}{9}\Bigr) = \frac{7}{18}.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | x^2+3x+2 faktörlemesi | (x+1)(x+2) |
| 2 | Kısmi kesir ayrımı | \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} |
| 3 | Telescoping toplam | \frac{7}{18} |
SSS
1. Telescoping toplam nedir?
Bir dizi kısmi kesir teriminin, ardışık pozitif ve negatif ifadeler sayesinde ara terimlerin iptal olduğu toplam türüdür.
2. Kısmi kesir ayrımında hangi adımlar izlenir?
Önce paydanın kökleri bulunur, sonra her kök için ayrı pay terimi sabit parametrelerle yazılır ve bilinmeyenler çözülür.
3. Başka bir aralık için nasıl genellenir?
Genel olarak \sum_{n=a}^b\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+2} formülü kullanılır.
4. x değerleri farklı ise yöntem değişir mi?
Hayır, faktörleme ve kısmi kesir adımları aynı kalır; sadece toplama sınırları güncellenir.
Bu yöntemi başka bir aralıkla uygulayan örnekler görmek ister misiniz?