ben biraz işlem
Aşağıda görseli verilen kaydırak bir çocuk parkında bulunmaktadır.
B, C, D doğrusal
m(widehat{ADC}) = \alpha
|AC| = |AB| = |CD| = 10 birim
|BC| = 12 birim
Buna göre \tan \alpha değeri kaçtır?
A) \frac{1}{2}
B) \frac{1}{3}
C) \frac{1}{2}
D) \frac{1}{3}
E) \frac{2}{3}
Verilen Kaydırak Modelinde \tan \alpha Değerinin Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- İkizkenar Üçgen Kuralı: İkizkenar bir üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya böler (|BH| = |HC|).
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarlar a ve b, hipotenüs c olmak üzere; a^2 + b^2 = c^2 (6-8-10 özel dik üçgeni).
- Trigonometrik Oran (Tanjant): \tan \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İkizkenar Üçgende Yüksekliği İndirme ve Tabanı Bölme
|AB| = |AC| = 10\text{ birim} olduğundan ABC üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
A köşesinden [BC] tabanına bir [AH] dikmesi (AH \perp BD) indirelim.
İkizkenar üçgende indirilen yükseklik tabanı iki eş parçaya böleceğinden:
|BH| = |HC| = \frac{|BC|}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ birim}
Adım 2 — Yüksekliğin (|AH|) Uzunluğunu Bulma
Oluşan AHC dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım:
|AH|^2 + |HC|^2 = |AC|^2
|AH|^2 + 6^2 = 10^2
|AH|^2 + 36 = 100
|AH|^2 = 64 \implies |AH| = 8\text{ birim}
Adım 3 — Büyük Dik Üçgende Komşu Kenar Uzunluğunu (|HD|) Hesaplama
B, C, D noktaları doğrusal olduğundan H, C, D noktaları da doğrusaldır.
[HD] kenarının toplam uzunluğu:
|HD| = |HC| + |CD| = 6 + 10 = 16\text{ birim}
Adım 4 — \tan \alpha Değerini Hesaplama
AHD dik üçgeninde m(\widehat{ADH}) = \alpha açısının tanjantını yazalım:
\tan \alpha = \frac{|AH|}{|HD|} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (\frac{1}{2})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İkizkenar Üçgende Yükseklik
- Tanım: İkizkenar üçgende tepe açısından tabana çizilen yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır.
- Bu problemde: |BC| = 12\text{ birim} uzunluğu 6\text{ birim} ve 6\text{ birim} olmak üzere ikiye ayrılmıştır.
2. 6-8-10 Özel Dik Üçgeni
- Tanım: 3-4-5 üçgeninin 2 katı olan temel dik üçgendir (6^2 + 8^2 = 10^2).
- Bu problemde: Hipotenüsü 10\text{ birim}, bir dik kenarı 6\text{ birim} olan üçgenin yüksekliği doğrudan 8\text{ birim} bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tepe Açısını Dik Kabul Edip Öklid Bağıntısı Kullanmak
- Yanlış: A açısının 90^\circ olduğu belirtilmediği halde h^2 = 6 \cdot 6 \implies h = 6 şeklinde Öklid uygulamak.
- Doğru: AHC dik üçgeninde hipotenüs 10, taban 6 olduğu için Pisagor teoreminden h = 8 bulmak.
- Neden yanlış: Öklid bağıntısı (h^2 = p \cdot k) yalnızca tepe açısı dik (90^\circ) olan üçgenlerde geçerlidir. Burada A açısının dik olduğuna dair bir bilgi yoktur; üçgen yalnızca ikizkenardır.
Benzer bir geometri veya trigonometri sorusu üzerinden pratik yapmak ister misin?
