!image|375x500 [Link Silindi]
Matematik sorusu anlamasım
Soru:
A ve B birer pozitif tam sayı olmak üzere,
A.B sayısının A + B ile bölümünde, bölümün tam kısmı biçiminde bir işlem tanımlanıyor.
Örnek:
\frac{8}{3}
işlemi 3.8 = 24 sayısı 3 + 8 = 11 ile bölünürse bölümün tam kısmı 2 olur.
Buna göre
\frac{A}{6} = 3
eşitliğini sağlayan kaç farklı A değeri vardır?
Cevap ve Çözüm Adımları
1. İşlemin Tanımı ve Anlamı
Verilen işlemde,
\frac{A}{B}
ifadesi,
öncelikle A \times B sayısı hesaplanır,
sonra bu sayı A + B sayısına bölünür,
bölümün tam kısmı (yani bölümün tam sayı kısmı) işlem sonucu olarak alınır.
Örnek olarak:
\frac{8}{3}
için,
8 \times 3 = 24
8 + 3 = 11
24 \div 11 = 2,18...
Bölümün tam kısmı 2’dir.
2. Sorunun Verdiği Eşitlik
\frac{A}{6} = 3
Bu, işlem tanımına göre:
\left\lfloor \frac{A \times 6}{A + 6} \right\rfloor = 3
Burada \lfloor x \rfloor ifadesi, x sayısının tam kısmını (floor) gösterir.
3. Matematiksel İfade ve Eşitsizlikler
Bölümün tam kısmı 3 ise, bölüm şu aralıkta olmalıdır:
3 \leq \frac{6A}{A + 6} < 4
Bu eşitsizliği çözelim.
4. Eşitsizliklerin Çözümü
İlk eşitsizlik:
3 \leq \frac{6A}{A + 6}
Her iki tarafı A + 6 > 0 olduğu için (çünkü A pozitif tam sayı), eşitsizliği çarpabiliriz:
3(A + 6) \leq 6A
3A + 18 \leq 6A
18 \leq 6A - 3A
18 \leq 3A
6 \leq A
İkinci eşitsizlik:
\frac{6A}{A + 6} < 4
Yine her iki tarafı A + 6 > 0 ile çarpalım:
6A < 4(A + 6)
6A < 4A + 24
6A - 4A < 24
2A < 24
A < 12
5. Sonuç
A pozitif tam sayı olduğuna göre,
6 \leq A < 12
Yani A değerleri: 6, 7, 8, 9, 10, 11 olabilir.
Toplam 6 farklı A değeri vardır.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem / Eşitsizlik | Sonuç |
|---|---|---|
| İşlem tanımı | \left\lfloor \frac{6A}{A+6} \right\rfloor = 3 | Bölümün tam kısmı 3 |
| Eşitsizlik 1 | 3 \leq \frac{6A}{A+6} | A \geq 6 |
| Eşitsizlik 2 | \frac{6A}{A+6} < 4 | A < 12 |
| Pozitif tam sayılar | 6 \leq A < 12 | A = 6,7,8,9,10,11 |
| Farklı A sayısı | 6 |
Sonuç:
Eşitliği sağlayan 6 farklı A değeri vardır.
Eğer sorunun başka bir kısmı veya farklı sorular varsa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım. @Aysenur_Kurt
Soru: A ⊙ 6 = 3 eşitliğini sağlayan kaç farklı A değeri vardır?
Açıklama:
Bir işlem sembolü “⊙” şöyle tanımlanır:
“A ve B pozitif tam sayı olmak üzere, A ⊙ B ifadesi, \displaystyle\frac{A\cdot B}{A+B} kesrinin tam kısmıdır.”
Örnek olarak;
8 \;⊙\;3
işleminde
\frac{8\cdot3}{8+3}=\frac{24}{11}=2{,}18\ldots
olduğundan, tam kısmı 2’dir.
Buna göre sorumuz:
A ⊙ 6 = 3 eşitliğini sağlayan kaç farklı pozitif tam sayı A vardır?
İçindekiler
- Problemin Matematiksel Modeli
- Eşitsizlik Kurulumu
- A’nın Alabileceği Değerlerin Belirlenmesi
- Örnek Hesaplamalar Tablosu
- Sonuç ve Özet
1. Problemin Matematiksel Modeli
İşlemin tanımına göre,
A \;⊙\;6 = \Big\lfloor \frac{A\cdot6}{A+6}\Big\rfloor
ifadesinin değeri 3 olmalıdır. Yani
\Big\lfloor \frac{6A}{A+6}\Big\rfloor = 3.
Bunu açmak için şu eşitsizliği ele alacağız:
2. Eşitsizlik Kurulumu
Bir kesrin tam kısmı 3 ise, kesir değeri en az 3 ve 4’ten küçüktür:
- \displaystyle \frac{6A}{A+6} \ge 3
- \displaystyle \frac{6A}{A+6} < 4
Bu iki eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
-
\displaystyle \frac{6A}{A+6} \ge 3
- Her iki tarafı (A+6)>0 ile çarparsak:
6A \ge 3(A+6)
6A \ge 3A + 18
6A - 3A \ge 18
3A \ge 18
A (\ge) 6
- Her iki tarafı (A+6)>0 ile çarparsak:
-
\displaystyle \frac{6A}{A+6} < 4
- Yine (A+6)>0 ile çarparız:
6A < 4(A+6)
6A < 4A + 24
6A - 4A < 24
2A < 24
A < 12
- Yine (A+6)>0 ile çarparız:
Birleştirdiğimizde:
6 \le A < 12
olur.
3. A’nın Alabileceği Değerlerin Belirlenmesi
Pozitif tam sayı A, yukarıdaki koşula göre 6, 7, 8, 9, 10, 11 olabilir. Toplamda 6 farklı değer vardır.
4. Örnek Hesaplamalar Tablosu
| A değeri | \displaystyle\frac{6A}{A+6} | Kesir Değeri | \big\lfloor\dots\big\rfloor | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| 5 | \frac{30}{11}\approx2{,}73 | 2,73… | 2 | Uygun değil |
| 6 | \frac{36}{12}=3{,}0 | 3,00 | 3 | Uygun |
| 7 | \frac{42}{13}\approx3{,}23 | 3,23… | 3 | Uygun |
| 8 | \frac{48}{14}\approx3{,}43 | 3,43… | 3 | Uygun |
| 9 | \frac{54}{15}=3{,}6 | 3,60 | 3 | Uygun |
| 10 | \frac{60}{16}=3{,}75 | 3,75 | 3 | Uygun |
| 11 | \frac{66}{17}\approx3{,}88 | 3,88… | 3 | Uygun |
| 12 | \frac{72}{18}=4{,}0 | 4,00 | 4 | Uygun değil |
Tablodan görüldüğü üzere, A = 6,7,8,9,10,11 değerleri geçerli ve toplam 6 adet.
5. Sonuç ve Özet
- İşlem tanımı: A⊙B = \big\lfloor\frac{AB}{A+B}\big\rfloor
- Koşul: \displaystyle\big\lfloor\frac{6A}{A+6}\big\rfloor=3
- Elde edilen eşitsizlik: 6\le A<12
- Geçerli A değerleri: 6, 7, 8, 9, 10, 11
- Cevap: 6 farklı A değeri
Bu nedenle doğru seçenek C) 6’dır.