3 =75
5Y =3
olduğuna göre y nin x türünden eşiti asağrdak
gisidir?
Ax+1
D) -1
B)
am
A)
3^x = 75 ve 5^y = 3 eşitlikleri verildiğine göre, y’nin x türünden eşiti nedir?
KULLANILAN FORMÜL:
- \log_b a = c \iff b^c = a (Logaritma tanımı)
- \log_b (M \cdot N) = \log_b M + \log_b N (Logaritma çarpım kuralı)
- \log_b a^c = c \cdot \log_b a (Logaritma üs kuralı)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk eşitliği logaritmik formda yazın
Verilen 3^x = 75 eşitliğini logaritma tanımını kullanarak yazalım.
x = \log_3 75
Adım 2 — Logaritmayı sadeleştirin
\log_3 75 ifadesini 75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2 şeklinde çarpanlarına ayıralım ve logaritma özelliklerini uygulayalım.
x = \log_3 (3 \times 5^2)
x = \log_3 3 + \log_3 5^2
x = 1 + 2 \log_3 5
Adım 3 — \log_3 5 ifadesini yalnız bırakın
Yukarıdaki eşitlikten \log_3 5 ifadesini çekelim.
x - 1 = 2 \log_3 5
\log_3 5 = \frac{x-1}{2}
Adım 4 — İkinci eşitliği logaritmik formda yazın
Verilen 5^y = 3 eşitliğini logaritma tanımını kullanarak yazalım.
y = \log_5 3
Adım 5 — Taban değiştirme kuralını kullanın
y = \log_5 3 ifadesini, Adım 3’te bulduğumuz \log_3 5 cinsinden yazmak için taban değiştirme kuralını kullanalım. Taban değiştirme kuralı: \log_a b = \frac{1}{\log_b a}
y = \frac{1}{\log_3 5}
Adım 6 — y ifadesinde yerine koyma işlemi yapın
Adım 3’te bulduğumuz \log_3 5 = \frac{x-1}{2} değerini Adım 5’teki y eşitliğinde yerine koyalım.
y = \frac{1}{\frac{x-1}{2}}
y = \frac{2}{x-1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \frac{2}{x-1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Logaritma Tanımı
- Tanım: b^c = a ise, c = \log_b a olarak tanımlanır. Bu, bir sayıyı belirli bir tabanda elde etmek için o tabanın kaçıncı kuvvetinin alınması gerektiğini gösterir.
- Bu problemde: 3^x = 75 ve 5^y = 3 ifadelerini logaritmik formda yazarak (x = \log_3 75 ve y = \log_5 3) çözüme başladık.
2. Logaritma Özellikleri
- Tanım: Logaritmaların çarpım, bölüm ve üs kuralları gibi temel özellikleri vardır. Örneğin \log_b (M \cdot N) = \log_b M + \log_b N.
- Bu problemde: \log_3 75 ifadesini \log_3 (3 \times 5^2) olarak açarken ve üs kuralını kullanırken bu özelliklerden faydalandık.
3. Taban Değiştirme Kuralı
- Tanım: \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} veya özel olarak \log_a b = \frac{1}{\log_b a} şeklinde bir logaritmanın tabanını değiştirmeyi sağlar.
- Bu problemde: y = \log_5 3 ifadesini, elimizdeki \log_3 5 cinsinden ifade etmek için y = \frac{1}{\log_3 5} kuralını uyguladık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Logaritma özelliklerini karıştırmak
- Yanlış: \log_3 (3 \times 5^2) ifadesini \log_3 3 \times \log_3 5^2 olarak yazmak.
- Doğru: \log_3 (3 \times 5^2) = \log_3 3 + \log_3 5^2 = 1 + 2 \log_3 5. Logaritmanın çarpım ve üs kurallarını doğru uygulamak önemlidir.
- Neden yanlış: Logaritmanın içindeki çarpma işlemi, logaritmaların toplamına dönüşür, logaritmaların çarpımına değil.
Taban değiştirme kuralını ters uygulamak
- Yanlış: \log_5 3 = \log_3 5 olduğunu düşünmek.
- Doğru: \log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5}.
- Neden yanlış: Logaritmanın tabanı ve argümanı yer değiştirdiğinde, ifade kendi çarpmaya göre tersi olur.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir üslü denklem ve logaritma sorusu çözmemi ister misin?
Bana bu cevabı Özetle
Cevabı Özetle
Bu problemde, verilen 3^x = 75 ve 5^y = 3 eşitliklerini kullanarak y’nin x türünden eşitini bulduk.
Özetle, çözüm adımları şu şekildedir:
- İlk eşitlikten x’i bulun: 3^x = 75 ifadesini logaritmaya çevirip x = \log_3 75 olarak yazdık.
- x ifadesini sadeleştirin: 75 = 3 \times 5^2 olduğundan, x = \log_3 (3 \times 5^2) = \log_3 3 + \log_3 5^2 = 1 + 2 \log_3 5 elde ettik.
- \log_3 5’i yalnız bırakın: Bu adımda \log_3 5 = \frac{x-1}{2} sonucuna ulaştık.
- İkinci eşitlikten y’yi bulun: 5^y = 3 ifadesini logaritmaya çevirip y = \log_5 3 olarak yazdık.
- Taban değiştirme kuralını kullanın: y = \log_5 3 ifadesini, önceki adımda bulduğumuz \log_3 5 cinsinden yazmak için taban değiştirme kuralını (y = \frac{1}{\log_3 5}) kullandık.
- Değerleri yerine koyun: Son olarak, \log_3 5’in değerini yerine koyarak y = \frac{1}{\frac{x-1}{2}} = \frac{2}{x-1} sonucuna ulaştık.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP ÖZETİ: y = \frac{2}{x-1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Konuyla ilgili başka bir problem çözmemi veya belirli bir adımı daha detaylı açıklamamı ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz logaritmik olmasın
Cevabı Kısaca ve Logaritmasız Yaz
Verilen eşitlikler:
- 3^x = 75
- 5^y = 3
y’yi x cinsinden ifade etmek için şu adımları izleyebiliriz:
- İlk eşitlikten x’i parçalara ayıralım: 3^x = 3 \times 25. Yani 3^x = 3 \times 5^2.
- Eşitliğin her iki tarafını 3’e bölersek: \frac{3^x}{3} = 5^2. Bu da 3^{x-1} = 5^2 demektir.
- Şimdi ikinci eşitliğe odaklanalım: 5^y = 3. Buradan 3’ün 5^y olduğunu biliyoruz.
- Bu değeri ilk eşitlikten elde ettiğimiz 3^{x-1} = 5^2 ifadesindeki 3 yerine koyalım.
Yani, (5^y)^{x-1} = 5^2 olur. - Üslerin çarpımı kuralına göre: 5^{y(x-1)} = 5^2.
- Tabanlar aynı olduğu için üsler de eşit olmalıdır: y(x-1) = 2.
- y’yi yalnız bırakmak için her iki tarafı (x-1)'e bölelim: y = \frac{2}{x-1}.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: y = \frac{2}{x-1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu çözümdeki adımlardan herhangi birini daha detaylı açıklamamı ister misin?