Matematik soru çözermisin

YKS TYT
1

1000059053
1000059053720×960 51.1 KB

2

Aşağıda paylaştığınız sayfadaki her iki sorunun da ayrıntılı ve adım adım çözümleri yer almaktadır:

1. Soru: Dikdörtgende Çevre Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Dikdörtgenin köşe açıları 90^\circ’dir.
  • İç ters açılar (Z kuralı): Paralel doğrular arasında ters yönlü açılar eşittir.
  • 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ özel dik üçgeninde hipotenüs, dik kenarların \sqrt{2} katıdır:
    \text{Hipotenüs} = a\sqrt{2} \iff \text{Dik Kenarlar} = a
  • Dikdörtgenin Çevresi: \text{Çevre} = 2 \cdot (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar})

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kısa Kenarın (|AD|) Bulunması
[AF] doğru parçası A köşesinin açıortayı olduğundan 90^\circ’lik açıyı iki eşit parçaya böler:

m(\widehat{DAF}) = m(\widehat{FAB}) = 45^\circ

[DC] \parallel [AB] olduğundan, iç ters açılardan (Z kuralı):

m(\widehat{DFA}) = m(\widehat{FAB}) = 45^\circ

Bu durumda ADF üçgeni bir 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ ikizkenar dik üçgenidir ve |AD| = |DF| olur.
|AF| hipotenüs uzunluğu:

|AF| = |AE| + |EF| = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\text{ cm}

Hipotenüs 4\sqrt{2}\text{ cm} olduğuna göre dik kenar:

|AD| = 4\text{ cm}

Adım 2 — Uzun Kenarın (|AB|) Bulunması
[BE] doğru parçası B köşesinin açıortayı olduğundan:

m(\widehat{ABE}) = 45^\circ

ABE üçgeninde:

  • m(\widehat{EAB}) = 45^\circ
  • m(\widehat{ABE}) = 45^\circ
  • İç açılar toplamından m(\widehat{AEB}) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ

Dolayısıyla ABE de bir ikizkenar dik üçgendir ve |AE| = |BE| = 3\sqrt{2}\text{ cm}'dir. Hipotenüs uzunluğu (|AB|):

|AB| = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm}

Adım 3 — Çevrenin Hesaplanması

\text{Çevre}(ABCD) = 2 \cdot (|AB| + |AD|) = 2 \cdot (6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı — 20
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2. Soru: Deltoidde Açı Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Deltoidde birbirine eşit olmayan kenarlar arasındaki açılar birbirine eşittir:
    |DA| = |DC| \implies m(\widehat{DAB}) = m(\widehat{DCB})
  • Dörtgenin iç açıları toplamı 360^\circ’dir.
  • Bir doğru üzerindeki açıların toplamı 180^\circ’dir (Doğrusal Açı).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Deltoidin A ve C Köşe Açılarının Bulunması
ABCD deltoidinde |DA| = |DC| olarak verildiğinden, simetri gereği:

m(\widehat{DAB}) = m(\widehat{DCB}) = \alpha

Dörtgenin iç açıları toplamı 360^\circ olduğundan:

\alpha + \alpha + 130^\circ + 70^\circ = 360^\circ
2\alpha + 200^\circ = 360^\circ
2\alpha = 160^\circ \implies \alpha = 80^\circ

Yani m(\widehat{DAB}) = 80^\circ ve m(\widehat{DCB}) = 80^\circ’dir.

Adım 2 — Açıortay Açısının Belirlenmesi
[AE] doğru parçası A açısının açıortayı olduğuna göre:

m(\widehat{EAB}) = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ

Adım 3 — x Açısının Hesaplanması
ABE üçgeninin iç açıları toplamından:

m(\widehat{AEB}) = 180^\circ - (m(\widehat{EAB}) + m(\widehat{B}))
m(\widehat{AEB}) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ

E noktası [BC] kenarı üzerinde doğrusal olduğundan:

m(\widehat{AEB}) + m(\widehat{AEC}) = 180^\circ
70^\circ + x = 180^\circ \implies x = 110^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı — 110
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Deltoit Simetrisi: İki ikizkenar üçgenin taban tabana birleşmesiyle oluşur; yan köşelerdeki açılar daima birbirine eşittir.
  • Açıortay: Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışındır.

Deltoid veya özel dörtgenlerle ilgili pekiştirici benzer bir soru daha çözmek ister misiniz?

3

1000059054
1000059054720×960 43.7 KB

4

Aşağıda paylaştığınız sayfada yer alan 3. ve 6. soruların adım adım ayrıntılı çözümleri bulunmaktadır:

3. Soru: Eşkenar Dörtgen ve Eşkenar Üçgende Açı Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir ve karşılıklı açıları eşittir:
    |AB| = |BC| = |CD| = |DA|, \quad m(\widehat{DAB}) = m(\widehat{DCB})
  • Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit, iç açıları 60^\circ’dir:
    |AB| = |BE| = |EA|, \quad m(\widehat{EAB}) = m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{AEB}) = 60^\circ
  • Bir doğru üzerindeki açıların toplamı 180^\circ’dir (Doğrusal açı).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — ADE İkizkenar Üçgeninin Belirlenmesi

  • ABCD eşkenar dörtgen olduğundan karşılıklı açılar eşittir:
    m(\widehat{DAB}) = m(\widehat{DCB}) = 80^\circ
  • ABE eşkenar üçgen olduğundan:
    m(\widehat{EAB}) = 60^\circ
  • Buradan \widehat{DAE} açısı:
    m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{DAB}) - m(\widehat{EAB}) = 80^\circ - 60^\circ = 20^\circ
  • Kenar eşitliklerine bakarsak:
    |AD| = |AB| \quad \text{ve} \quad |AE| = |AB| \implies |AD| = |AE|
    Dolayısıyla ADE üçgeni, tepe açısı 20^\circ olan bir ikizkenar üçgendir.

Adım 2 — \widehat{AED} Taban Açısının Hesaplanması
ADE ikizkenar üçgeninin taban açıları eşit olduğundan:

m(\widehat{AED}) = \frac{180^\circ - 20^\circ}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ

Adım 3 — Doğrusallıktan x Açısının Bulunması
D, E, F noktaları doğrusal olduğundan, E noktasının alt tarafındaki açıların toplamı bir doğru açı (180^\circ) oluşturur:

m(\widehat{AED}) + m(\widehat{AEB}) + m(\widehat{BEF}) = 180^\circ
80^\circ + 60^\circ + x = 180^\circ
140^\circ + x = 180^\circ \implies x = 40^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkı — 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Farklı çokgenlerin ortak kenarı paylaştığı sorularda (burada [AB] ortak kenardır), şekiller arasındaki kenar eşitliklerini zincirleme olarak aktarmak gizli ikizkenar üçgenleri ortaya çıkarır.

6. Soru: İkizkenar Yamukta Kenar Uzunluğu Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • İkizkenar yamukta taban açıları birbirine eşittir: m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}).
  • İç ters açılar (Z kuralı): Paralel doğrular arasında ters açılar eşittir (AB \parallel DC).
  • 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni Kuralı:
    30^\circ\text{'nin karşısı } = a \implies 90^\circ\text{'nin karşısı (hipotenüs)} = 2a

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Taban Açılarının Belirlenmesi

  • [AC] açıortay olduğundan:
    m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{CAB}) = \alpha
  • Yamuğun taban açısı m(\widehat{DAB}) = 2\alpha olur.
  • ABCD bir ikizkenar yamuk (|AD| = |BC|) olduğundan taban açıları eşittir:
    m(\widehat{B}) = m(\widehat{DAB}) = 2\alpha

Adım 2 — \alpha Değerinin Hesaplanması
ACB dik üçgeninde ([AC] \perp [CB]) iç açılar toplamından:

m(\widehat{CAB}) + m(\widehat{B}) = 90^\circ
\alpha + 2\alpha = 90^\circ \implies 3\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 30^\circ

Bu durumda:

  • m(\widehat{CAB}) = 30^\circ
  • m(\widehat{B}) = 60^\circ
  • m(\widehat{ACB}) = 90^\circ (30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgeni).

Adım 3 — Kenarlar Arasındaki Bağıntı ve Çevre Hesabı

  • DC \parallel AB olduğundan iç ters açılardan (Z kuralı):
    m(\widehat{DCA}) = m(\widehat{CAB}) = 30^\circ
  • m(\widehat{DAC}) = 30^\circ olduğundan ADC üçgeni ikizkenardır:
    |AD| = |DC| = x
  • İkizkenar yamuk gereği |BC| = |AD| = x’tir.
  • ACB (30^\circ - 60^\circ - 90^\circ) dik üçgeninde, 30^\circ’nin karşısındaki kenar |BC| = x olduğundan, 90^\circ’nin karşısındaki hipotenüs:
    |AB| = 2 \cdot |BC| = 2x

Yamuğun tüm kenarları:

  • |DC| = x
  • |AD| = x
  • |BC| = x
  • |AB| = 2x

Çevre denklemini kuralım:

\text{Çevre} = x + x + x + 2x = 5x
5x = 30\text{ cm} \implies x = 6\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E şıkkı — 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: [AC] köşegeninin yamuğun tabanını dik kestiğini varsaymak veya ikizkenar yamuğun taban açılarının eşitliğini gözden kaçırmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Açıortay ve paralelliğin bir arada bulunduğu durumlarda daima “Z kuralı” ile ikizkenar üçgen aramak (|AD| = |DC|).

İkizkenar yamuk veya eşkenar dörtgen özellikleri hakkında pratik yapabileceğimiz benzer bir soru çözmek ister misiniz?

5

1000059055
1000059055720×960 49.1 KB

6

Aşağıda paylaştığınız sayfada yer alan 4. ve 5. soruların mantığıyla birlikte adım adım ayrıntılı çözümleri bulunmaktadır:

4. Soru: Dörtgende Açı Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir dörtgenin iç açıları toplamı 360^\circ’dir.
  • Doğrusal bir doğru üzerindeki komşu açıların toplamı 180^\circ’dir (Bütünler açılar).
  • İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları birbirine eşittir ve iç açılar toplamı 180^\circ’dir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — AECD Dörtgeninden \widehat{AEC} Açısının Bulunması
AECD dörtgeninin verilen üç iç açısını toplayalım:

m(\widehat{DAE}) = 75^\circ
m(\widehat{ADC}) = 95^\circ
m(\widehat{BCD}) = 80^\circ

Dörtgenin iç açıları toplamı 360^\circ olduğundan:

m(\widehat{AEC}) = 360^\circ - (75^\circ + 95^\circ + 80^\circ)
m(\widehat{AEC}) = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ

Adım 2 — \triangle ABE İkizkenar Üçgeninin Taban Açılarının Bulunması
B, E, C noktaları doğrusal olduğundan:

m(\widehat{AEB}) = 180^\circ - m(\widehat{AEC}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ

Soruda |AB| = |BE| olarak verildiğinden, ABE üçgeni bir ikizkenar üçgendir ve taban açıları eşittir:

m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{AEB}) = 70^\circ

Adım 3 — x Açısının Hesaplanması
ABE üçgeninin iç açıları toplamından:

x + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ
x + 140^\circ = 180^\circ \implies x = 40^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A şıkkı — 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5. Soru: Paralelkenarda Açı Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Paralelkenarda ardışık köşelerin açıları bütünlerdir:
    m(\widehat{ADC}) + m(\widehat{BCD}) = 180^\circ \implies m(\widehat{A}) = m(\widehat{C})
  • İç ters açılar (Z kuralı): Paralel doğrular arasında zıt yönlü iç açılar birbirine eşittir (AD \parallel BC).
  • Üçgenin ve dörtgenin iç açıları toplamı kuralı.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Açıortay ve Paralellik İlişkisi (Z Kuralı)
[CE] doğru parçası C açısının açıortayı olduğundan:

m(\widehat{DCE}) = m(\widehat{BCE}) = \alpha

Buradan tüm C açısı m(\widehat{C}) = 2\alpha olur.

Paralelkenarda karşılıklı kenarlar paralel olduğundan (AD \parallel BC), transversal olan [CE] keseni boyunca iç ters açılar eşittir:

m(\widehat{DEC}) = m(\widehat{BCE}) = \alpha

Adım 2 — Paralelkenarın A Açısının Belirlenmesi
Paralelkenarda karşılıklı açılar birbirine eşittir:

m(\widehat{A}) = m(\widehat{C}) = 2\alpha

Adım 3 — \triangle AEF Üçgeni ve Doğru Açı Bağıntısı
AEF üçgeninde iç açılar toplamından:

m(\widehat{AEF}) = 180^\circ - (m(\widehat{A}) + m(\widehat{AFE}))
m(\widehat{AEF}) = 180^\circ - (2\alpha + 50^\circ) = 130^\circ - 2\alpha

D, E, A noktaları doğrusal bir doğru oluşturduğundan, E noktasındaki açıların toplamı 180^\circ’dir:

m(\widehat{DEC}) + m(\widehat{CEF}) + m(\widehat{AEF}) = 180^\circ
\alpha + 70^\circ + (130^\circ - 2\alpha) = 180^\circ
200^\circ - \alpha = 180^\circ \implies \alpha = 20^\circ

(Alternatif olarak EFCB dörtgeninin iç açıları toplamından da: 70^\circ + \alpha + (180^\circ - 2\alpha) + 130^\circ = 360^\circ \implies \alpha = 20^\circ bulunur).

Adım 4 — x Açısının Hesaplanması
ABCD paralelkenarında D ve C ardışık açılar olduğundan toplamları 180^\circ’dir:

x + 2\alpha = 180^\circ
x + 2(20^\circ) = 180^\circ
x + 40^\circ = 180^\circ \implies x = 140^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı — 140
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Paralelkenarda Açıortay: Paralel kenarlar arasında çizilen açıortay daima ikizkenar üçgen meydana getirir (Burada DEC üçgeninde m(\widehat{DEC}) = m(\widehat{DCE}) = \alpha olduğundan |DE| = |DC|'dir).

Paralelkenar veya dörtgenlerde açı konuları ile ilgili takıldığınız başka bir soru var mı?

7

1000059056
1000059056720×960 41.5 KB

8

Aşağıda paylaştığınız sayfada yer alan 7. ve 8. soruların mantığıyla birlikte adım adım ayrıntılı çözümleri bulunmaktadır:

7. Soru: Eşkenar Dörtgende Uzunluk Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Eşkenar dörtgenin bütün kenar uzunlukları birbirine eşittir:
    |AB| = |BC| = |CD| = |DA|
  • Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir (a^2 + b^2 = c^2).
  • Kosinüs Teoremi: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kenar Uzunlukları ve |DE| Yüksekliğinin Bulunması

  • [BC] kenarının toplam uzunluğu:
    |BC| = |EC| + |EB| = 3 + 2 = 5\text{ cm}
  • ABCD eşkenar dörtgen olduğundan tüm kenarlar 5\text{ cm}'dir:
    |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 5\text{ cm}
  • DEC dik üçgeninde ([DE] \perp [BC]) Pisagor bağıntısı uygulanırsa (3 - 4 - 5 özel dik üçgeni):
    |DE|^2 + |EC|^2 = |DC|^2 \implies |DE|^2 + 3^2 = 5^2
    |DE| = \sqrt{25 - 9} = 4\text{ cm}

Adım 2 — C ve B Açılarının Kosinüs Değerleri

  • DEC dik üçgeninde C açısının kosinüsü:
    \cos(\widehat{C}) = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{3}{5}
  • Eşkenar dörtgende ardışık açılar bütünler olduğundan (B + C = 180^\circ):
    \cos(\widehat{B}) = -\cos(\widehat{C}) = -\frac{3}{5}

Adım 3 — ABE Üçgeninde Kosinüs Teoremi ile x’in Bulunması
ABE üçgeninde kenarlar |AB| = 5\text{ cm}, |BE| = 2\text{ cm} ve \cos(\widehat{B}) = -\frac{3}{5}'tir:

x^2 = |AB|^2 + |BE|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BE| \cdot \cos(\widehat{B})
x^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)
x^2 = 25 + 4 + 20 \cdot \frac{3}{5}
x^2 = 29 + 12 = 41
x = \sqrt{41}\text{ cm}

(Alternatif olarak: A noktasından BC doğrusuna indirilen dikme ayağı H olursa, AH = 4, HB = 3, HE = 3 + 2 = 5 olup AHE dik üçgeninden x = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41} elde edilir).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkı — \sqrt{41}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

8. Soru: Paralelkenarda Çevre Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Paralelkenarda komşu iki iç açının açıortayları daima birbirine dik kesişir (m(\widehat{AED}) = 90^\circ).
  • Muhteşem Üçlü: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, ayırdığı parçaların uzunluğuna eşittir.
  • Paralelkenarın Çevresi: \text{Çevre} = 2 \cdot (|AD| + |AB|)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — \triangle ADE Dik Üçgeni ve |AD| Kenarının Bulunması

  • ABCD paralelkenarında m(\widehat{D}) + m(\widehat{A}) = 180^\circ’dir.
  • [DE] ve [AE] açıortay olduğundan:
    m(\widehat{ADE}) + m(\widehat{DAE}) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \implies m(\widehat{AED}) = 90^\circ
  • ADE dik üçgeninde (6 - 8 - 10 özel üçgeni):
    |AD| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\text{ cm}
  • Soruda |AD| = |EF| verildiğinden:
    |EF| = 10\text{ cm}

Adım 2 — [FE] Doğrusunun Uzatılması ve Muhteşem Üçlü

  • [FE] doğru parçasını E yönünde uzatarak [AD] kenarını kestiği noktaya K diyelim.
  • KF \parallel AB \parallel DC olduğundan Z kuralı gereği:
    • m(\widehat{KDE}) = m(\widehat{CDE}) = m(\widehat{KED}) \implies |KD| = |KE|
    • m(\widehat{KAE}) = m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{KEA}) \implies |KA| = |KE|
  • Buradan |KD| = |KA| = |KE| olur (Muhteşem üçlü). K noktası [AD]'nin orta noktasıdır:
    |KE| = \frac{|AD|}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}

Adım 3 — Uzun Kenarın (|AB|) ve Çevrenin Hesaplanması

  • KF doğrusu karşılıklı paralel kenarlar arasına çizilen paralel bir doğru parçası olduğundan uzunluğu tabana eşittir:
    |AB| = |KF| = |KE| + |EF| = 5 + 10 = 15\text{ cm}
  • ABCD paralelkenarının çevresi:
    \text{Çevre}(ABCD) = 2 \cdot (|AD| + |AB|) = 2 \cdot (10 + 15) = 2 \cdot 25 = 50\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı — 50
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Komşu Açıortaylar: Paralelkenar, eşkenar dörtgen veya yamukta komşu iki açının açıortaylarının kesişimi her zaman 90^\circ’dir ve bu kesişim noktasından tabanlara çizilen paralel daima muhteşem üçlü oluşturur.

Bu sayfadaki diğer sorular veya benzer dörtgen problemleriyle devam etmek ister misiniz?

9

1000059057
1000059057720×960 39.9 KB

10

Aşağıda paylaştığınız sayfada yer alan 9. ve 12. soruların mantığı ve ispatlarıyla birlikte adım adım ayrıntılı çözümleri bulunmaktadır:

9. Soru: Yamukta Uzunluk Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşliği: Paralel iki doğru arasında kelebek benzerliğinde kenarlar eşitse üçgenler eş olur.
  • Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2 (8 - 15 - 17 özel dik üçgeni ve katları: 16 - 30 - 34).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — [CE] Doğrusunun Uzatılması ve Eş Üçgen Oluşturulması
[CE] doğru parçasını E yönünde uzatalım ve [AB] tabanının uzantısı ile kesiştirelim. Kesişim noktasına K diyelim:

  • [DC] \parallel [KB] olduğundan iç ters açılardan (Z kuralı):
    m(\widehat{EDC}) = m(\widehat{EAK})
  • Ters açılardan:
    m(\widehat{DEC}) = m(\widehat{AEK})
  • Soruda |DE| = |EA| olarak verildiğinden, A.K.A. Eşlik Teoremi gereği:
    \triangle EDC \cong \triangle EAK

Adım 2 — Eşlikten Gelen Uzunluklar
Üçgenlerin eşliğinden dolayı karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir:

  • |AK| = |DC| = 10\text{ cm}
  • |EK| = |EC| = 15\text{ cm}

Buradan oluşan büyük KCB üçgeninde:

  • Hipotenüs uzunluğu: |KB| = |KA| + |AB| = 10 + 24 = 34\text{ cm}
  • Bir dik kenar uzunluğu: |KC| = |KE| + |EC| = 15 + 15 = 30\text{ cm}

Adım 3 — \triangle KCB Dik Üçgeninde Pisagor ile x’in Bulunması
[EC] \perp [CB] olduğundan, K, E, C doğrusal olduğundan m(\widehat{KCB}) = 90^\circ’dir.
KCB dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygularsak:

|BC|^2 + |KC|^2 = |KB|^2
x^2 + 30^2 = 34^2

Bu üçgen, 8 - 15 - 17 özel dik üçgeninin 2 katıdır:

  • 30 = 15 \times 2
  • 34 = 17 \times 2
  • x = 8 \times 2 = 16\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı — 16
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

12. Soru: Eş Dikdörtgenler ve Çevre Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Birbirine eş dikdörtgenlerin kısa kenarları (a) ve uzun kenarları (b) birbirine eşittir.
  • Dikdörtgenin Çevresi: \text{Çevre} = 2 \cdot (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar})

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kenar Uzunlukları Arasındaki Oranın Belirlenmesi
Şekilde ABCD büyük dikdörtgeni, 5 adet eş küçük dikdörtgenden oluşmaktadır:

  • Bir sütunda 2 adet dikdörtgen dikey olarak üst üste konulmuştur. Bu sütunun toplam yüksekliği:
    H = 2b
  • Diğer sütunda ise 3 adet dikdörtgen yatay olarak üst üste konulmuştur. Aynı yüksekliği oluşturduklarından:
    H = 3a

Buradan:

2b = 3a \implies b = \frac{3a}{2} \quad \text{veya} \quad H = 6k \text{ alınırsa } a = 2k, \; b = 3k

Adım 2 — Büyük Dikdörtgenin Boyutlarının İfade Edilmesi

  • Büyük dikdörtgenin yüksekliği:
    H = 3a = 3(2k) = 6k
  • Büyük dikdörtgenin taban genişliği (bir dikey kenar ile bir yatay kenarın toplamı):
    W = a + b = 2k + 3k = 5k

Adım 3 — k Değerinin Hesaplanması
ABCD dikdörtgeninin çevresi 44\text{ cm} olarak verilmiştir:

\text{Çevre}(ABCD) = 2 \cdot (H + W) = 44
2 \cdot (6k + 5k) = 44
2 \cdot 11k = 44 \implies 22k = 44 \implies k = 2\text{ cm}

Adım 4 — Bir Küçük Dikdörtgenin Çevresinin Bulunması
Küçük dikdörtgenlerin kenar uzunlukları:

  • Kısa kenar: a = 2k = 2 \cdot 2 = 4\text{ cm}
  • Uzun kenar: b = 3k = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm}

Bir küçük eş dikdörtgenin çevresi:

\text{Çevre} = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (4 + 6) = 2 \cdot 10 = 20\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E şıkkı — 20
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Yamukta Orta Nokta: Yan kenarlardan birinin orta noktası verildiğinde, kenarı dışarıya doğru uzatarak kelebek eşliği oluşturmak çözümü son derece pratikleştirir.

Benzer geometri soruları veya anlamadığınız bir işlem basamağı olursa sormaktan çekinmeyin!

11

1000059058
1000059058720×960 49.9 KB

12

Aşağıda paylaştığınız sayfada yer alan 10. ve 11. soruların mantığı, kuralları ve adım adım ayrıntılı çözümleri bulunmaktadır:

10. Soru: Üçgende Eşlik ve İç Açıortay Bağıntısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşliği: Üç kenarı da birbirine eşit olan iki üçgen eştir.
  • İç Açıortay Teoremi: Bir üçgende bir iç açıortayın karşı kenarda ayırdığı parçaların oranı, bu parçalara komşu kenarların oranına eşittir:
    \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BE|}{|EC|}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — \triangle ABE ve \triangle ADE Üçgenlerinin Eşliğinin Gösterilmesi
Soruda verilen kenar eşitliklerini inceleyelim:

  • |AB| = |AD| = 10\text{ cm}
  • |BE| = |ED|
  • [AE] kenarı her iki üçgen için de ortaktır.

Üçer kenarı da eşit olduğundan K.K.K. Eşlik Kuralı gereğince:

\triangle ABE \cong \triangle ADE

Adım 2 — Açıortayın Belirlenmesi
Bu iki üçgen eş olduğuna göre, eşit kenarları gören karşılıklı açılar da birbirine eşittir:

m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{DAE})

D noktası [AC] kenarı üzerinde bulunduğundan, [AE] doğru parçası büyük ABC üçgeninde A köşesine ait iç açıortaydır.

Adım 3 — İç Açıortay Teoremi ile |BE| Uzunluğunun Hesaplanması

  • |AC| = |AD| + |DC| = 10 + 5 = 15\text{ cm}
  • |EC| = 6\text{ cm}
  • |BE| = x diyelim.

ABC üçgeninde iç açıortay bağıntısını uygulayalım:

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BE|}{|EC|}
\frac{10}{15} = \frac{x}{6}

Sadeleştirme yaparsak:

\frac{2}{3} = \frac{x}{6} \implies 3x = 12 \implies x = 4\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı — 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Gizli Açıortay: Soruda açıkça açıortay verilmediğinde, ikizkenar parçalar veya eş üçgenler yardımıyla açının iki eşit parçaya bölündüğü fark edilmelidir.

11. Soru: Dörtgende Karşılıklı Açıortaylar Arasındaki Açı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir dörtgende karşılıklı iki iç açının açıortayları arasında kalan dar açının ölçüsü (\alpha), diğer iki köşedeki açıların farkının mutlak değerinin yarısına eşittir:
    \alpha = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Formülün ve Verilenlerin Belirlenmesi
ABCD dörtgeninde:

  • [AE] doğru parçası A açısının açıortayıdır.
  • [CE] doğru parçası C açısının açıortayıdır.
  • Karşılıklı açıortaylar arasındaki dar açı: m(\widehat{FEC}) = 20^\circ
  • Verilen köşe açısı: m(\widehat{ADC}) = 30^\circ
  • İstenen köşe açısı: m(\widehat{ABC}) = x

Adım 2 — Formülün Uygulanması ve x’in Hesaplanması
Karşılıklı açıortay kuralını yazalım:

20^\circ = \frac{|x - 30^\circ|}{2}
|x - 30^\circ| = 40^\circ

Mutlak değerli denklemi çözelim:

  1. x - 30^\circ = 40^\circ \implies x = 70^\circ
  2. x - 30^\circ = -40^\circ \implies x = -10^\circ (Bir açının ölçüsü negatif olamayacağından bu kök elenir).

Buradan:

x = 70^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkı — 70
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Komşu açıların açıortay kuralı \left(\frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})}{2}\right) ile karşılıklı açıların açıortay kuralını karıştırmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım:
    • Komşu açıortaylar kesiştiğinde: Açılar toplanıp ikiye bölünür.
    • Karşılıklı açıortaylar kesiştiğinde: Açılar çıkarılıp ikiye bölünür.

Dörtgenlerde açılar ve açıortay kuralları ile ilgili başka bir soru çözmek ister misiniz?

13

1000059060
1000059060720×960 66.2 KB

14

Aşağıda fotoğrafta yer alan Örnek 1 ve Örnek 2 sorularının mantığı, kuralları ve adım adım ayrıntılı çözümleri yer almaktadır:

Örnek 1: Paralel Doğrularda Kırık Çizgi Açısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Karşı Durumlu Açılar (U Kuralı): Birbirine paralel iki doğru arasında kalan ve birbirine bakan iç açıların toplamı 180^\circ’dir:
    \alpha + \beta = 180^\circ
  • Doğrusal Açı: Bir doğru üzerindeki komşu açıların toplamı 180^\circ’dir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — C Köşesinden Paralel Doğru Çizilmesi
Kırılma noktası olan C noktasından, verilen [BA ve [DE ışınlarına paralel olacak şekilde yatay bir doğru çizelim. Bu doğrunun:

  • Sola doğru giden kısmına [CP,
  • Sağa doğru giden kısmına [CR diyelim.

Adım 2 — U Kurallarından Yardımcı Açıların Hesaplanması

  • [BA \parallel [CP olduğundan karşı durumlu açılar (U kuralı) kuralından:

    m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BCP}) = 180^\circ
    120^\circ + m(\widehat{BCP}) = 180^\circ \implies m(\widehat{BCP}) = 60^\circ

  • [DE \parallel [CR olduğundan yine U kuralından:

    m(\widehat{CDE}) + m(\widehat{DCR}) = 180^\circ
    130^\circ + m(\widehat{DCR}) = 180^\circ \implies m(\widehat{DCR}) = 50^\circ

Adım 3 — Doğrusal Açıdan x’in Bulunması
P, C, R noktaları doğrusal olduğundan bu açıların toplamı 180^\circ eder:

m(\widehat{BCP}) + m(\widehat{BCD}) + m(\widehat{DCR}) = 180^\circ
60^\circ + x + 50^\circ = 180^\circ
110^\circ + x = 180^\circ \implies x = 70^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: x = 70^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Örnek 2: Paralel Doğrular ve Üçgende Dış Açı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Karşı Durumlu Açılar (U Kuralı): Paralel kollar arasındaki iç açılar toplamı 180^\circ’dir.
  • Üçgende Dış Açı Teoremi: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir:
    \text{Dış Açı} = \text{İç Açı}_1 + \text{İç Açı}_2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Paralel Işının Uzatılarak Üçgen Oluşturulması
[ED ışınını sola doğru uzatalım ve [BC] doğru parçasını kestiği noktaya K diyelim.
Böylece bir CKD üçgeni elde edilir.

Adım 2 — K Köşesindeki İç Açının Bulunması
[BA \parallel [KD olduğundan, [BC] keseni boyunca B ve K köşelerindeki açılar karşı durumlu açılardır (U kuralı):

m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BKD}) = 180^\circ
100^\circ + m(\widehat{BKD}) = 180^\circ \implies m(\widehat{BKD}) = 80^\circ

Ters açılardan dolayı veya K noktasındaki doğrusallıktan, \triangle CKD üçgeninin iç açısı olan:

m(\widehat{CKD}) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ

Adım 3 — Dış Açı Teoremi ile x’in Hesaplanması
CKD üçgeninde D köşesindeki \widehat{CDE} açısı bir dış açıdır (110^\circ).
Kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan:

m(\widehat{CDE}) = m(\widehat{CKD}) + m(\widehat{KCD})
110^\circ = 80^\circ + x
x = 110^\circ - 80^\circ \implies x = 30^\circ

(Alternatif Yol: C tepesinden geçen yatay bir paralel çizilirse; alttaki U kuralından sol parça 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ, sağ parça 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ olur. Doğru açıdan 80^\circ + x + 70^\circ = 180^\circ \implies x = 30^\circ bulunur).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: x = 30^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Kırılma Noktasından Paralel Çizme: Doğruda açı sorularında sivri/kırılma noktaları görüldüğünde verilen paralellere bir paralel daha çizmek (veya mevcut çizgileri uzatıp üçgen oluşturmak) soruyu doğrudan temel kurallara indirger.

Doğruda açılar (M kuralı, Z kuralı, Zig-zag kuralı) ile ilgili başka alıştırma yapmak ister misiniz?