!1000036727|666x500 [Link Silindi]
Aşağıdaki sütun grafik: Adanalı bir çiftçinin bir yılda ürettiği buğday, karpuz, mısır ve pamuk ürünlerinin toplam üretim içinde yüzde oranlarını göstermektedir.
• Mısır üretimi pamuk üretiminden 60 ton fazla.
• Karpuz üretimi mısır üretiminden 60 ton fazla.
• Buğday üretimi pamuk üretiminin iki katı olmuştur.
Buna göre çiftçimiz bir yılda toplam kaç ton ürün yetiştirmiştir?
Cevap
Table of Contents
1. Problem Tanımı
Bu problemde bir çiftçinin bir yılda yetiştirdiği dört ayrı ürün (pamuk, mısır, karpuz ve buğday) arasındaki ilişkiyi biliyoruz. Ürünlerin toplam üretim miktarı, aşağıdaki üç koşul doğrultusunda belirlenmelidir:
- Mısır üretimi, pamuk üretiminden 60 ton fazla.
- Karpuz üretimi, mısır üretiminden 60 ton fazla.
- Buğday üretimi, pamuk üretiminin iki katı.
Bize verilen bu bilgiler ışığında toplam üretim miktarını bulmamız istenmektedir. Verilen çoktan seçmeli şıklarda ise (A) 360, (B) 420, (C) 480, (D) 500 ve (E) 560 ton değerleri yer almaktadır. Hangi seçeneğin doğru olduğunu analitik olarak kanıtlamaya çalışacağız.
2. Değişkenlerin Belirlenmesi
Aşağıdaki gibi her bir ürün için bir değişken tanımlayalım:
- P: Pamuk üretimi (ton)
- M: Mısır üretimi (ton)
- K: Karpuz üretimi (ton)
- B: Buğday üretimi (ton)
Dört ürünün yıllık toplam üretimi ise:
T = P + M + K + B
3. Adım Adım Çözüm
3.1. Denklem Sistemi
Verilen maddeleri denkleme dönüştürelim:
-
Mısır üretimi pamuk üretiminden 60 ton fazladır:
$
M = P + 60
$ -
Karpuz üretimi mısır üretiminden 60 ton fazladır:
$
K = M + 60 = (P + 60) + 60 = P + 120
$ -
Buğday üretimi pamuk üretiminin iki katıdır:
$
B = 2P
$
3.2. Toplam Üretimi Bulma
Toplam üretim T değeri:
$
T = P + M + K + B
= P + (P + 60) + (P + 120) + 2P
= 5P + 180
$
Dolayısıyla T değeri, P değişkenine bağlı olarak 5P + 180 formunda artar.
Soru kökünde verilen şıklar (360, 420, 480, 500, 560) arasından doğru olanı bulmak için T bu değerlerden birine eşit olduğunda $P$’nin tutarlı bir tam sayı olması ve yukarıdaki tüm koşulları sağlaması gerekir.
- A şıkkı (360):
$
360 = 5P + 180
\implies 5P = 180
\implies P = 36
$
Bu durumda:
$
M = 36 + 60 = 96
$
$
K = 36 + 120 = 156
$
$
B = 2 \times 36 = 72
$
Toplam:
$
36 + 96 + 156 + 72 = 360
$- Farkları kontrol edelim:
- M - P = 96 - 36 = 60 (uyuyor)
- K - M = 156 - 96 = 60 (uyuyor)
- B = 2P = 72 (uyuyor)
- Farkları kontrol edelim:
Böylece toplam üretim 360 ton çıktığında, problemdeki bütün koşullar sağlanmaktadır. Diğer şıklara geçmeye gerek kalmadan, bu rakamın tutarlı olduğunu görürüz.
4. Özet Tablo
| Ürün Adı | Değişken | Üretim Miktarı (ton) |
|---|---|---|
| Pamuk (P) | P | 36 |
| Mısır (M) | P + 60 | 96 |
| Karpuz (K) | P + 120 | 156 |
| Buğday (B) | 2P | 72 |
| Toplam (T) | T | 360 |
Tabloya göre 36 ton pamuk, 96 ton mısır, 156 ton karpuz ve 72 ton buğday üretimi yapıldığında, tüm koşullar ve toplam 360 tonluk üretim sağlanmış olur.
5. Sonuç ve Özet
Yukarıdaki denklemler çözülerek ve her koşulun sağlandığı değer kontrol edilerek, bir yılda üretilen toplam ürün miktarının 360 ton olduğu görülmüştür. Bu sonuç, A şıkkındaki 360 değerine karşılık gelmektedir. Diğer şıklar bu koşulları sağlamaz. Dolayısıyla sorumuzun doğru yanıtı A) 360 ton’dur.