Matematik Problemi: Verilen şekillerin matematiksel modelleri ve a, b değerleri ile ilgili çözüm

YKS TYT
1

17681307174685376589858186312068
17681307174685376589858186312068720×960 30.9 KB

2

Matematik Problemi: Verilen şekillerin matematiksel modelleri ve a, b değerleri ile ilgili çözüm

Önemli Noktalar

  • Üçgen içine yazılan sayılar farklı işlemlerin sonucu olarak modelleniyor.
  • Üçgen yukarı olarak n ile gösteriliyorsa n , ters üçgen n^2 , ters üçgenin çaprazı n^3 değeri alıyor.
  • Verilen eşitlikteki a ve b için a + b ifadesinin en küçük değeri soruluyor.

Verilenler:

  • Yukarı üçgen: \triangle n = n
  • Ters üçgen: \nabla n = n^2
  • Çapraz ters üçgen: \text{ters üçgenin üzeri} = n^3

Denklik:

\triangle 120 \cdot \nabla (a -1) = \text{ters üçgenin üzeri} (b +1)

Yani,

120 \cdot (a - 1)^2 = (b + 1)^3

Burada a, b pozitif tamsayıdır.

İçindekiler

  1. Denklemin Analizi ve Çözüm Yolu
  2. a ve b’nin En Küçük Değerlerini Bulma
  3. Özet ve Sonuç
  4. Sık Sorulan Sorular

1. Denklem Analizi ve Çözüm Yolu

Eşitlik:

120 \cdot (a - 1)^2 = (b + 1)^3

Burada amaç, a, b pozitif tamsayıları için en küçük a + b toplamını bulmak.

  • Sol taraf bir sayının karesiyle 120’nin çarpımı
  • Sağ taraf bir sayının küpü

Bu tür denklemler için temel yol, sayıları asal çarpanlarına ayırmak ve oranlamaktır.

Asal Çarpanlar:

120 = 2^3 \times 3 \times 5

2. a ve b’nin En Küçük Değerlerini Bulma

Denklem:

120 (a -1)^2 = (b +1)^3

Öncelikle:

L = 120 (a-1)^2

sol taraf tam küp bir sayı olmalı çünkü sağ taraf (b + 1)^3.

Bu şekilde sorunuza adım adım bakalım:

  • Diyelim (a-1) = k , bu da pozitif tam sayı.

  • Öyleyse:

    120k^2 = m^3

    burada m = b + 1 .

  • 120’nin asal çarpanlarını ve k^2’nin etkisini birlikte düşünelim.

Asal çarpanlara göre:

L = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \times k^2

L bir tam küp olmalı. Yani her asal faktörün üssü 3’ün katı olmalı.

Şimdi k^2’nin asal çarpanlarını düşünelim. k = 2^x 3^y 5^z \cdots ise,

k^2 = 2^{2x} 3^{2y} 5^{2z}

Bu durumda [
L = 2^{3 + 2x} \cdot 3^{1 + 2y} \cdot 5^{1 + 2z}
]

L’nin hem 2, hem 3 hem de 5 için üsleri 3’ün katı olmalı. Yani:

3 + 2x \equiv 0 \pmod{3}
1 + 2y \equiv 0 \pmod{3}
1 + 2z \equiv 0 \pmod{3}

Şimdi bunları ayrı ayrı çözelim.

1) 2’nin üssü:

3 + 2x \equiv 0 \pmod{3}

3 \equiv 0 \pmod{3}, bu yüzden

2x \equiv 0 \pmod{3}

2x \equiv 0 \pmod{3}
Buradan x 3’ün katı olmalı çünkü 2 mod 3’in tersidir (tümdengelimle x \equiv 0 \pmod{3}).

Yani, x = 0, 3, 6, ... ama en küçük için x=0.

2) 3’ün üssü:

1 + 2y \equiv 0 \pmod{3}
2y \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}

Çarpan tersini düşünelim:
2 \times 2 = 1,

Bu durumda y \equiv 1 \pmod{3}.

En küçük y=1.

3) 5’in üssü:

1 + 2z \equiv 0 \pmod{3}


Aynı şekilde:
2z \equiv 2 \pmod{3}
z \equiv 1 \pmod{3}.

En küçük z=1.

Son durum:

k = 2^x 3^y 5^z = 2^0 3^1 5^1 = 3 \times 5 = 15

a ve b Değerlerini Bulma:

a-1 = k = 15 \implies a = 16.

L = 120 \times 15^2 = 120 \times 225 = 27000

Şimdi b+1’i bulalım:

(b+1)^3 = 27000
b+1 = \sqrt[3]{27000} = 30
b = 29

Toplam:

a + b = 16 + 29 = 45

3. Özet ve Sonuç

Değişken Değer
a 16
b 29
a + b 45

Doğru cevap D) 45

Sık Sorulan Sorular

1. Bu tür üslü denklemleri nasıl çözebilirim?
Asal çarpanlara ayırma ve üslerin tam küp ya da tam kare olması koşullarını kontrol etmek çözüme götürür.

2. a ve b neden pozitif tam sayı olmalı?
Soru koşulunda pozitif tam sayı olarak verilmiş ve ayrıca üslü fiyatlamalar için anlamlıdır.

3. Başka çözüm yolları var mı?
Deneme-yanılma ve faktör analizi yapılabilir ama asal çarpanlar yöntemi en sistematik yaklaşımdır.

Sonraki Adımlar

Bu tip problem becerilerinizi geliştirmek için “Asal Çarpanlara Ayırma ile Üslü Denklemler Çözümü” üzerine özel bir çalışma ister misiniz?

@Eda_Tunc

3

Resimde verilen işlem modellerine göre a + b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

• 3 farklı şekil, pozitif tam sayı n için sırasıyla n^1, n^2 ve n^3 işlemlerini temsil eder.
• Verilen eşitlik:

120\;\bigl[(a-1)\text{ ile tanımlı }n^2\bigr]\;=\;(b+1)\text{ ile tanımlı }n^3

yani

120\,(a-1)^2 \;=\;(b+1)^3.

• Asal çarpanlara ayırma ve üs koşullarını sağlayan en küçük çözümde a=16, b=29 ve a+b=45 bulunur.

  1. Derinlemesine Çözüm
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Derinlemesine Çözüm

  1. Şekil–üs eşleştirmesi:

    • ▲ işareti: n\mapsto n^1
    • ▼ işareti: n\mapsto n^2
    • ─┬─ işareti: n\mapsto n^3

  2. Verilen modellerden denklem:

    • Solda: ▲ içine yazılmış 120 ⇒ 120^1=120
    • Orta: ▼ içine yazılmış a-1 ⇒ (a-1)^2
    • Sağda: ─┬─ içine yazılmış b+1 ⇒ (b+1)^3
      Dolayısıyla
    120\,(a-1)^2 \;=\;(b+1)^3.

  3. Asal çarpanlara ayırarak tamsayı çözüme gitme:

    • 120=2^3\cdot3\cdot5
    • Yazalım k=b+1, j=a-1 ⇒
      k^3 =120\,j^2 =2^3\cdot3\cdot5\;j^2.
    • k=2^x3^y5^z alındığında üslerin çift olma şartı:
      3x−3, 3y−1, 3z−1 çift olmalı ⇒ x,y,z tek en küçük değer = 1.
    • Böylece k=2^1\cdot3^1\cdot5^1=30, j^2=\tfrac{30^3}{120}=225\;(j=15).
    • Sonuç: b+1=30\;(b=29), a-1=15\;(a=16) ⇒ a+b=45.

Karşılaştırmalı Tablo

Şekil Gösterim İşlem Matematiksel Karşılık
▲ ▲ n Birinci kuvvet n^1
▼ ▼ n İkinci kuvvet n^2
─┬─ ─┬─ n Üçüncü kuvvet n^3

Özet Tablosu

Değişken Tanım Değer
a-1 Orta şekil girdisi j=15
b+1 Sağ şekil girdisi k=30
Denklem 120\,j^2 = k^3
Çözüm a, b değerleri a=16, b=29
Aranan Sonuç a+b 45

SSS

S1. Bu denklem neden asal çarpanlara ayrılarak çözülür?
C1. Çünkü k^3=120\,j^2 ifadesinde hem küp hem kare terimler bulunur; üslerin uyumlu olması için çarpanlar eşlenerek tamsayı çözüm aranır.

S2. x,y,z üs koşulları nasıl elde edildi?
C2. k=2^x3^y5^z ⇒ k^3=2^{3x}3^{3y}5^{3z}, 120=2^3\,3^1\,5^1 olduğundan k^3/120 ifadesinin kare olması için her üssün çift olması gerekir.

S3. Daha küçük bir çözüm olabilir mi?
C3. Asal çarpan şartları x,y,z ≥1 ilk tek değerleriyle sağlanır; daha küçük değer denklemde tam kare-küp uyumunu bozacaktır.

S4. Başka hangi yöntem kullanılabilir?
C4. Genel yöntem, Diofantin denklemlerinde üs eşleştirme ve tam sayı koşullu aramadır; asal çarpan analizi en hızlı yoldur.

Benzer sorularla pekiştirme ister misiniz? @Eda_Tunc