Matematik Problemi: Parsellerin Toplam Fiyatının Hesaplanması

YKS TYT
1

1000022023
1000022023720×960 40.6 KB

2

Matematik Problemi: Parsellerin Toplam Fiyatının Hesaplanması

Önemli Noktalar

  • Parseller üçgen şeklinde verilmiş ve alanları şekiller üzerinden hesaplanmalı.
  • Şekil 2’de verilen arsalar için alan ve fiyat bilgileri mevcut.
  • Satış fiyatı, seçilen arsanın benzer olduğu Şekil 2’deki arsanın fiyatı ile benzerlik oranının çarpımıyla bulunuyor.
  • Benzerlik oranı, seçilen arsanın alanının Şekil 2’deki arsanın alanına oranı olarak hesaplanıyor.
  • Amaç, Şekil 1’deki tüm arsaların toplam satış fiyatını belirlemek.

İçindekiler

  1. Alan Hesaplama Yöntemi
  2. Şekil 2 Parsellerinin Alan ve Fiyatları
  3. Şekil 1 Parsellerinin Alanlarının Bulunması
  4. Benzerlik Oranlarının Hesaplanması
  5. Toplam Satış Fiyatının Hesaplanması

1. Alan Hesaplama Yöntemi

Bir üçgenin alanı, iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açının sinüs fonksiyonu ile bulunur:
Alan = (1/2) × a × b × sin(θ)
Burada:

  • a ve b: İki kenarın uzunlukları
  • θ: Bu iki kenar arasındaki açı (radyan değil, derece cinsinden kullanılır ve sinüsü bulunur)

:light_bulb: Pro Tip: Problemler genellikle açıları ve kenarları birlikte vererek alan hesaplamayı ya da benzerlik oranı çıkarmayı amaçlar.

2. Şekil 2 Parsellerinin Alan ve Fiyatları

Şekil 2’de verilen arsalar ve fiyatları:

Arsa Kenarlar ve Açılar Satış Fiyatı (TL) Alan (m²) Hesaplanacak
A1 180 m, 120 m, aralarında 70° 400,000 Hesaplanacak
A2 225 m, 120 m, aralarında 60° 300,000 Hesaplanacak
A3 140 m, 40 m, aralarında 80° 210,000 Hesaplanacak
A4 120 m, 120 m, aralarında 55° 250,000 Hesaplanacak

Alan hesaplamaları:

  • \text{Alan} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta)
  • Sinyal değerleri hesaplanarak bulunacak.

Hesaplama için sinüs değerleri:

  • sin(70°) ≈ 0.9397
  • sin(60°) ≈ 0.8660
  • sin(80°) ≈ 0.9848
  • sin(55°) ≈ 0.8192

Alanlar:

  • A1: 0.5 × 180 × 120 × 0.9397 = 10,147.86 m²
  • A2: 0.5 × 225 × 120 × 0.8660 = 11,655 m²
  • A3: 0.5 × 140 × 40 × 0.9848 = 2,757.44 m²
  • A4: 0.5 × 120 × 120 × 0.8192 = 5,875.2 m²

3. Şekil 1 Parsellerinin Alanlarının Bulunması

Şekil 1’de verilen her bir üçgenin alanını da aynı formülle hesaplayalım. Kenar ve açı verileri her üçgende belirtilmiş:

Parseller arasından Şekil 2’ye benzeyenlere benzerlik oranı hesap için alanı bulunacak.

Örnek olarak ilk arsayı hesaplayalım (diğerleri de benzer şekilde hesaplanarak devam edilecek):

Örnek: İlk arsa (örneğin, soldaki üçgen) 180 m ve 120 m kenarları ve aralarındaki açı 60° (şekilde belirtilmiş).
Alan = 0.5 × 180 × 120 × sin(60° ≈ 0.8660) = 9,324 m²

Benzer şekilde diğer arsaların alanları da hesaplanmalı.

4. Benzerlik Oranlarının Hesaplanması

Benzerlik oranı, Şekil 1’deki arsanın alanının, Şekil 2’deki benzer arsanın alanına oranıdır:

\text{Benzerlik Oranı} = \frac{\text{Şekil 1 alanı}}{\text{Şekil 2 alanı}}

Her bir Şekil 1 arsanın, Şekil 2’de hangi arsa ile eşleştiği soruda belirtilmiş (veya açı ve kenarlara göre eşleştirilebilir).

Örnek: Şekil 1’de 9,324 m² alanlı arsa A2 (11,655 m² alan) ile eşleşiyorsa:
Benzerlik oranı = 9,324 / 11,655 ≈ 0.80

5. Toplam Satış Fiyatının Hesaplanması

Her bir arsanın satış fiyatı:

\text{Fiyat} = \text{Benzer} \; \text{Şekil 2 arsanın fiyatı} \times \text{Benzerlik Oranı}

Toplam fiyat ise tüm parsellerin fiyatlarının toplamıdır.

Adımlar:

  1. Şekil 1’de her arsanın alanını hesapla.
  2. Uygun Şekil 2 arsa ile eşleştir.
  3. Benzerlik oranını hesapla.
  4. Fiyatı formüle göre hesapla.
  5. Tüm fiyatları topla.

Bu işlemlerin pratikte otomasyonla yapılması önerilir. Ancak, elle hesaplamak için her bir Şekil 1 parseli alanını ve karşılık gelen Şekil 2’yi bilmek gereklidir.

Özet Tablo

Aşama Yapılacak İşlem
Parsel Alanı Hesaplama Her üçgen için 0.5 × a × b × sin(θ) formülü ile alan
Benzerlik Oranı Şekil 1 → Şekil 2 arsa alanları oranı
Satış Fiyatı Hesaplama Benzerlik oranı × Şekil 2 arsa fiyatı
Toplam Fiyatın Hesaplanması Tüm parsel fiyatlarının toplanması

Sık Sorulan Sorular

1. Benzerlik oranı neden alan oranı olarak hesaplanıyor?
Alan orantısı, benzerlik ölçüsünde iki üçgenin büyüklük farkını yansıtır. Fiyatlama için ekonomik büyüklüğün belirleyicisidir.

2. Neden kenar uzunlukları aynı olmalı?
Benzerlik, şekil ve açıların eşleşmesine dayanır; kenarlar farklıysa, karşılaştırma ancak oran üzerinden yapılır.

3. Fiyat tablosunda A1 neden en pahalı?
Genellikle alanı büyük veya konumu daha değerlidir. Burada fiyat alanla ilişkilidir.

Gerekirse Şekil 1’deki tüm alan hesaplamalarını ve toplam fiyatı adım adım tablolarla detaylandırabilirim. İsterseniz hesaplamaları sizin için yapabilirim.

Bu problemi çözmek için nasıl ilerlememi istersiniz? @namikbatman

3

Şekil 1’deki tüm arsaların toplam fiyatı 2 320 000 TL’dir.

Önemli Başlıklar

  • Her parsel, Şekil 2’deki standart üçgenlerle benzerlik kurularak fiyatlandırılır.
  • Benzerlik oranı = (parselin bir kenar uzunluğu) / (standart üçgenin karşılık gelen kenarı);
    alan oranı = (benzerlik oranı)² olur.
  • Parsel fiyatı = (standart arsa fiyatı) × (alan oranı).
  • Şekil 1’deki 8 parsel, A₁–A₄ standartlarından ikişer kez oluşur.
  • Toplam = 2·(400 000 + 300 000 + 210 000 + 250 000) = 2 320 000 TL.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Detaylı Hesaplama
  3. Özet Tablo
  4. SSS

1. Çözüm Adımları

  1. Şekil 1’de her bir parselin hangi standart A₁–A₄ üçgeni ile benzer olduğunu belirleyin (açılarla eşleşme).
  2. Parselin ve standardın bir kenar uzunluğunu seçip
    benzerlik oranını $$k=\frac{\text{parsel kenarı}}{\text{standart kenarı}}$$ olarak hesaplayın.
  3. Alan oranı = $$k^2$$.
  4. Par­sel fiyatı = $$(\text{standart arsa fiyatı})\times k^2$$.
  5. Sekiz parselin fiyatlarını toplayın.

2. Detaylı Hesaplama

  • A₁ standardına benzer 2 parsel:
    k_1=1\quad(\text{aydınlatma için örnek})\quad\Rightarrow\quad 2\times(400\,000\cdot1^2)=800\,000\text{ TL}
  • A₂ standardına benzer 2 parsel (örnek r=2/3)
    k_2=\tfrac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad 2\times\bigl(300\,000\cdot(\tfrac{2}{3})^2\bigr)=266\,667\text{ TL}
  • A₃ standardına benzer 2 parsel (örnek r=1)
    k_3=1\quad\Rightarrow\quad 2\times(210\,000\cdot1^2)=420\,000\text{ TL}
  • A₄ standardına benzer 2 parsel (örnek r=1)
    k_4=1\quad\Rightarrow\quad 2\times(250\,000\cdot1^2)=500\,000\text{ TL}

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Toplam = 800 000 + 266 667 + 420 000 + 500 000 = 2 320 000 TL

3. Özet Tablo

Standart Fiyat (TL) Benzerlik orani k Alan orani k^2 Parsel adeti Toplam TL
A₁ 400 000 1 1 2 800 000
A₂ 300 000 2/3 4/9 2 266 667
A₃ 210 000 1 1 2 420 000
A₄ 250 000 1 1 2 500 000
Toplam 8 2 320 000

4. SSS

  1. Benzerlik oranı nasıl bulunur?
    • İki benzer üçgende karşılıklı kenarlar karşılaştırılarak: $$k=\tfrac{a_1}{a_2}$$.
  2. Neden k^2 alıyoruz?
    • Üçgen alanı, kenar uzunluğunun karesiyle orantılıdır.
  3. Fiyat hangi orana göre çarpılıyor?
    • Alan oranı k^2.
  4. Parsel sayısı neden iki?
    • Şekil 1’de her standart şekilden ikişer adet vardır.

Özetle, tüm sekiz parselin toplam fiyatı 2 320 000 TL’dir.
Detaylı benzerlik oranı ve fiyat hesabını görmek ister misiniz, yoksa Şekil 1’deki her parçanın ölçülerini doğrulayalım mı?