Matematik Problemi: f ve g Fonksiyonlarının Temsili ve Kazançların Eşitliği
Önemli Noktalar
- f ve g fonksiyonları doğrusal (lineer) fonksiyonlardır.
- Grafik üzerinden sabit terimler ve eğimler bulunarak cebirsel ifadeleri yazılır.
- f ve g fonksiyonlarının kesişim yılı kazançlarının eşit olduğu yılı verir.
- f’nin g’den daha fazla kazanç sağladığı zaman aralığı bulunmalıdır.
İçindekiler
- f ve g Fonksiyonlarının Cebirsel Temsili
- Kazançların Eşit Olduğu Yılın Bulunması
- f Fonksiyonunun g’den Daha Fazla Olduğu Zaman Aralığı
1. f ve g Fonksiyonlarının Cebirsel Temsili
Grafikte f ve g doğrusal fonksiyonlar olarak verilmiştir. Grafikte verilen noktalarla f ve g’nin eğimleri (m) ve başlangıç değerleri (b) bulunur.
f fonksiyonu
- f fonksiyonu 2 yılda 3 (x 10^7 TL) kazanç sağlamaktadır. Grafik f(2) = 3
- f fonksiyonunun başlangıç zamanı 0 olduğunda kazancı grafikte 0,0 gibi görünmekte (orijinden geçiyor)
- Eğimi m_f = \frac{3-0}{2-0} = \frac{3}{2} = 1.5 (x 10^7 TL / yıl)
Buna göre
g fonksiyonu
- g fonksiyonu 2 yılda 4 (x 10^7 TL) kazanç sağlamaktadır. Grafik g(2) = 4
- g, orijinden başlamıyor, 2 yılda 4’e ulaşmış (başlangıç parametresi başka)
- 10 yılda 4’ten 5’e çıkmış (grafikte yaklaşık)
- Eğimi m_g = \frac{5-4}{10-2} = \frac{1}{8} = 0.125 (x 10^7 TL / yıl)
- Ayrıca g(2) = 4 olduğuna göre başlangıç değeri bulunur:
Sonuç olarak:
2. A ve B Şirketlerinin Kazançlarının Eşit Olduğu Yılın Bulunması
Kazançlar birbirine eşit olduğunda f(t) = g(t) olur.
3. f Fonksiyonun g Fonksiyonundan Daha Fazla Olduğu En Geniş Zaman Aralığı
f’den g’ye kıyasla daha fazla kazanç olduğunda:
Ama grafikte g, B şirketini temsil ediyor. Soru B şirketinin A’dan 2 yıl sonra kurulması nedeniyle başlangıç zamanı farklı olabilir. Burada başlangıç yıldan sonra (t=0 A şirketinin yılı) B şirketi 2 yıl sonrası olarak alınmalıdır.
Son durumda:
- f(t) fonksiyonunun kazancı g(t) den daha fazla olduğu zaman aralığı t > 2.73 yıl olarak bulunur.
Özet Tablo
| Soru | Cevap |
|---|---|
| f fonksiyonu | f(t) = 1.5t |
| g fonksiyonu | g(t) = 0.125t + 3.75 |
| Kazançların eşit olduğu yıl | Yaklaşık t = 2.73 yıl |
| f’nin kazancının g’den fazla olduğu zaman aralığı | t > 2.73 yıl |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden g(t) fonksiyonunda (t-2) kullanıldı?
B şirketi A’dan 2 yıl sonra kurulduğu için, g fonksiyonunun başlangıcı t=2 yılında başlıyor, yani zaman ekseninde 2 yıl ötelenmiş.
2. f ve g doğrusal fonksiyonlar neden tercih edildi?
Üretim veya kazanç benzeri süreklilik gösteren değişkenlerde ilk kesin yaklaşım doğrusal modelleme ile yapılır.
3. t=0 zamanı neyi temsil ediyor?
t=0 A şirketinin kuruluş yılıdır, B şirketi ise 2 yıl sonra kurulmuştur.
Sonraki Adımlar
Grafik bazlı sorular için, grafik üzerindeki noktaları belirleme ve eğimi doğru hesaplama pratikleri ister misiniz? Ya da polinomların grafiklerinden cebirsel denklemleri çıkarma yöntemlerini öğrenmek ister misiniz?
A ve B işletmelerinin öngörülen kazançlarıyla ilgili sorular
A ve B işletmelerinin öngörülen kazançları f ve g doğrusal fonksiyonları ile modellenmektedir.
a) f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsillerini yazınız.
b) A ve B şirketlerinin öngörülen kazançlarının hangi yılda eşit olacağını bulunuz.
c) A şirketinin kazancının B şirketinin kazancından daha fazla olacağı en geniş zaman aralığını bulunuz.
- Özellik 1: f ve g iki nokta üzerinden belirlenen doğrusal fonksiyonlardır.
- Özellik 2: Eşitlik yılı t=14 olarak bulunur.
- Özellik 3: f(t)>g(t) olduğunda A’nın kazancı B’den fazladır.
İçindekiler
- Fonksiyonların Cebirsel Temsilleri
- Kârların Eşit Olduğu Yıl
- A’nın Kârının B’den Fazla Olduğu Zaman Aralığı
- f ve g Karşılaştırma Tablosu
- Özet Tablosu
- Sıkça Sorulan Sorular
1. Fonksiyonların Cebirsel Temsilleri
Verilen iki nokta:
- f: (2, 0) ve (10, 3)
- g: (2, 3) ve (10, 4)
Eğimleri hesaplayalım:
Doğru denklemi formülü y = m\,t + b olduğuna göre, b sabitini bulmak için her birine bir nokta veriyoruz:
- f için:
- g için:
2. Kârların Eşit Olduğu Yıl
Eşitlik koşulu f(t)=g(t):
Cevap: t = 14 yılı.
3. A’nın Kârının B’den Fazla Olduğu Zaman Aralığı
İnceliyoruz f(t) > g(t):
Cevap: A işletmesinin kazancı, B işletmesinin kazancından daha fazla olduğu en geniş zaman aralığı $t > 14$’tür.
4. f ve g Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | f(t) | g(t) |
|---|---|---|
| Noktalar | (2, 0), (10, 3) | (2, 3), (10, 4) |
| Eğim (m) | \tfrac{3}{8} | \tfrac{1}{8} |
| Y-kesişim (b) | -\tfrac{3}{4} | \tfrac{11}{4} |
| Eşitlik yılı | \multicolumn{2}{c | }{t=14} |
| A’nın üstünlüğü | \multicolumn{2}{c | }{t>14} |
5. Özet Tablosu
| Soru Kısmı | Sonuç |
|---|---|
| a) f(t) | \displaystyle \frac{3}{8}t - \frac{3}{4} |
| a) g(t) | \displaystyle \frac{1}{8}t + \frac{11}{4} |
| b) Eşitlik | t = 14 |
| c) Aralık | t > 14 |
6. Sıkça Sorulan Sorular
S1: f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri nedir?
C1: Model genel olarak tüm t\in\mathbb{R} için tanımlıdır; ancak gerçekçi öngörü aralığı grafik üzerinde 2\le t\le 10 olarak gösterilmiştir.
S2: t=14 hangi fiziksel yıla denk gelir?
C2: Burada t; işletmelerin kuruldukları yıldan sonraki yıl sayısını temsil eder. Örneğin A kurulalı 14 yıl geçmiş demektir.
S3: 14. yıldaki kâr miktarı ne olur?
C3: f(14)=\frac{3}{8}\cdot14-\frac{3}{4}=4{,}5; yani 4{,}5×10³ TL.
S4: A’nın kârı neden sadece $t>14$’te daha fazla?
C4: Çünkü doğrusal modellerin eğimleri farklıdır; daha büyük t değerlerinde eğim farkı A lehine işler.
Bu doğrusal modellerle ilgili ek alıştırma soruları ister misiniz?
@Fatma75