Matematik ödevi bunu çöz
Soruların detaylı çözümleri
7. Soru:
Çevre uzunluğu 7\sqrt{12} cm olan bir ABC üçgeninin iki kenar uzunluğu verilmiş:**
- AB = \sqrt{27} cm
- BC = 3\sqrt{12} cm
Buna göre AC kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Üçgenin çevresi, kenarların toplamıdır:
AB + BC + AC = 7\sqrt{12}
Öncelikle verilen köklü ifadeleri sadeleştirelim:
- \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}
- 3\sqrt{12} = 3 \times \sqrt{4 \times 3} = 3 \times 2 \sqrt{3} = 6\sqrt{3}
- 7\sqrt{12} = 7 \times 2 \sqrt{3} = 14 \sqrt{3}
Şimdi yerine yazalım:
3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + AC = 14 \sqrt{3}
Toplayalım:
(3 + 6) \sqrt{3} + AC = 14 \sqrt{3}
9 \sqrt{3} + AC = 14 \sqrt{3}
Buradan AC’yi bulalım:
AC = 14 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}
Cevap:
AC kenarının uzunluğu 5\sqrt{3} cm’dir.
8. Soru:
10 \sqrt{20} - \sqrt{500} - * = \sqrt{45}
Yukarıdaki işlemin * yerine yazılması gereken sayıyı bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle köklü ifadeleri sadeleştirelim:
- \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}
- \sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = 10 \sqrt{5}
- \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}
İşlemi sadeleştirelim:
10 \times 2 \sqrt{5} - 10 \sqrt{5} - * = 3 \sqrt{5}
20 \sqrt{5} - 10 \sqrt{5} - * = 3 \sqrt{5}
(20 - 10) \sqrt{5} - * = 3 \sqrt{5}
10 \sqrt{5} - * = 3 \sqrt{5}
Buradan *'yi bulalım:
$
- = 10 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} = 7 \sqrt{5}
$
Cevap:
* = 7 \sqrt{5}
9. Soru:
Uzunluğu \sqrt{242} cm olan bir kalem ile bir kalemtıraş verilmiş.
Kalem uzunluğu: \sqrt{242} cm
Kalemtıraş uzunluğu: 2 \sqrt{32} cm
Verilenlere göre kalem ile kalemtıraşın uzunlukları toplamını bulunuz.
Çözüm:
Önce kökleri sadeleştirelim:
- \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = 11 \sqrt{2}
- 2 \sqrt{32} = 2 \times \sqrt{16 \times 2} = 2 \times 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}
Toplam:
11 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} = (11 + 8) \sqrt{2} = 19 \sqrt{2}
Cevap:
Toplam uzunluk 19 \sqrt{2} cm’dir.
10. Soru:
Kenar uzunlukları 4 \sqrt{20} cm ve \sqrt{125} cm olan bir dikdörtgen verilmiştir.
Buna göre dikdörtgenin çevre uzunluğunu cm cinsinden bulunuz.
Çözüm:
Dikdörtgenin çevresi:
2 \times (uzunluk + genişlik)
Önce kökleri sadeleştirelim:
- 4 \sqrt{20} = 4 \times \sqrt{4 \times 5} = 4 \times 2 \sqrt{5} = 8 \sqrt{5}
- \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5 \sqrt{5}
Çevre:
2 \times (8 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}) = 2 \times 13 \sqrt{5} = 26 \sqrt{5}
Cevap:
Dikdörtgenin çevresi 26 \sqrt{5} cm’dir.
11. Soru:
Verilen eşitlikler:
\sqrt{63} + \sqrt{175} = \Delta
7 \sqrt{28} - \Delta = \square
Yukarıdaki eşitliklere göre (\square - \Delta) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle kökleri sadeleştirelim:
- \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3 \sqrt{7}
- \sqrt{175} = \sqrt{25 \times 7} = 5 \sqrt{7}
- \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}
Önce \Delta'yı bulalım:
\Delta = 3 \sqrt{7} + 5 \sqrt{7} = 8 \sqrt{7}
Sonra \square'yi bulalım:
7 \sqrt{28} - \Delta = 7 \times 2 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7} = 14 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7} = 6 \sqrt{7}
Son olarak (\square - \Delta):
6 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7} = -2 \sqrt{7}
Cevap:
(\square - \Delta) = -2 \sqrt{7}
12. Soru:
Uzunluğu 15 \sqrt{40} cm olan bir telin sol ucundan 3 \sqrt{90} cm, sağ ucundan \sqrt{160} cm’lik kısımlar kesilip kullanılıyor.
Buna göre telin kalan kısmının cm cinsinden uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Önce kökleri sadeleştirelim:
- 15 \sqrt{40} = 15 \times \sqrt{4 \times 10} = 15 \times 2 \sqrt{10} = 30 \sqrt{10}
- 3 \sqrt{90} = 3 \times \sqrt{9 \times 10} = 3 \times 3 \sqrt{10} = 9 \sqrt{10}
- \sqrt{160} = \sqrt{16 \times 10} = 4 \sqrt{10}
Kesilen toplam uzunluk:
9 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} = 13 \sqrt{10}
Kalan uzunluk:
30 \sqrt{10} - 13 \sqrt{10} = 17 \sqrt{10}
Cevap:
Telin kalan kısmının uzunluğu 17 \sqrt{10} cm’dir.
Özet Tablosu
| Soru No | İşlem Özeti | Sonuç |
|---|---|---|
| 7 | AC = 7\sqrt{12} - (\sqrt{27} + 3\sqrt{12}) | 5 \sqrt{3} cm |
| 8 | 10\sqrt{20} - \sqrt{500} - * = \sqrt{45} | * = 7 \sqrt{5} |
| 9 | \sqrt{242} + 2\sqrt{32} | 19 \sqrt{2} cm |
| 10 | 2 \times (4\sqrt{20} + \sqrt{125}) | 26 \sqrt{5} cm |
| 11 | (\sqrt{63} + \sqrt{175}) = \Delta, 7\sqrt{28} - \Delta = \square, (\square - \Delta) | -2 \sqrt{7} |
| 12 | 15\sqrt{40} - (3\sqrt{90} + \sqrt{160}) | 17 \sqrt{10} cm |
Umarım bu detaylı çözümler ödevine yardımcı olur! Herhangi bir sorunda tekrar yazabilirsin.
Table of Contents
- Soru 7: Üçgenin Kenar Uzunluğunu Bulma
- Soru 8: Kareköklü İfadede Şıkkı Bulma
- Soru 9: Kalem ile Kalemtraş Uzunluk Toplamı
- Soru 10: Dikdörtgenin Çevresini Bulma
- Soru 11: İki Kareköklü İfadenin İşlemleri
- Soru 12: Kalan İp Uzunluğunu Hesaplama
- Özet Tablosu
1. Soru 7: Üçgenin Kenar Uzunluğunu Bulma
Soru: Çevre uzunluğu 7\sqrt{12}\,\text{cm} olan bir \triangle ABC üçgeninin iki kenar uzunluğu şu şekilde verilmiştir:
- AB = \sqrt{27}\,\text{cm}
- BC = 3\sqrt{12}\,\text{cm}
Buna göre AC kenarının uzunluğunu cm cinsinden bulunuz.
Çözüm Adımları:
- Üçgenin çevresi:
P = AB + BC + AC = 7\sqrt{12} - AC kenarını izole edelim:
AC = 7\sqrt{12} - AB - BC - İfadeleri sadeleştirmek için \sqrt{12} ve $\sqrt{27}$’yi basitleştirelim:
- \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
- \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
- Yerine yazalım:
7\sqrt{12} = 7\cdot 2\sqrt{3} = 14\sqrt{3}
3\sqrt{12} = 3\cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}
AB = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} - AC hesabı:
AC = 14\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = (14 - 3 - 6)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\,\text{cm}
Cevap: AC = 5\sqrt{3}\,\text{cm}
2. Soru 8: Kareköklü İfadede Şıkkı Bulma
Soru:
Yukarıdaki işlemlerde ★ sembolünün yerine yazılması gereken sayıyı bulunuz.
Çözüm Adımları:
- Her karekökü basitleştirelim:
- \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ⇒ 10\sqrt{20} = 10\cdot 2\sqrt{5} = 20\sqrt{5}
- \sqrt{500} = \sqrt{100\cdot5} = 10\sqrt{5}
- \sqrt{45} = \sqrt{9\cdot5} = 3\sqrt{5}
- Denklemi yerine yazalım:
20\sqrt{5} - 10\sqrt{5} - ★ = 3\sqrt{5} - Sol taraftaki benzer terimleri toplayalım:
(20\sqrt{5} - 10\sqrt{5}) = 10\sqrt{5}
Denkleme dönelim:
10\sqrt{5} - ★ = 3\sqrt{5} - ★’yı izole edelim:
★ = 10\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 7\sqrt{5}
Cevap: ★ = 7\sqrt{5}
3. Soru 9: Kalem ile Kalemtraş Uzunluk Toplamı
Soru: Uzunluğu \sqrt{242}\,\text{cm} olan bir kalem ile \;2\sqrt{32}\,\text{cm}\; olan bir kalemtraşın uzunlukları toplamını cm cinsinden bulunuz.
Çözüm Adımları:
- İfadeleri sadeleştirelim:
- \sqrt{242} = \sqrt{121\cdot2} = 11\sqrt{2}
- \sqrt{32} = \sqrt{16\cdot2} = 4\sqrt{2} ⇒ 2\sqrt{32} = 2\cdot4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
- Toplama işlemi:
11\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = (11 + 8)\sqrt{2} = 19\sqrt{2}\,\text{cm}
Cevap: 19\sqrt{2}\,\text{cm}
4. Soru 10: Dikdörtgenin Çevresini Bulma
Soru: Kenar uzunlukları 4\sqrt{20}\,\text{cm} ve \sqrt{125}\,\text{cm} olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğunu bulunuz.
Çözüm Adımları:
- Kareköklü ifadeleri sadeleştirelim:
- \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ⇒ 4\sqrt{20} = 4\cdot2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}
- \sqrt{125} = \sqrt{25\cdot5} = 5\sqrt{5}
- Çevre formülü:
Çevre = 2\,(a + b)
burada a = 8\sqrt{5},\; b = 5\sqrt{5} - Hesap:
Çevre = 2\,(8\sqrt{5} + 5\sqrt{5}) = 2\cdot13\sqrt{5} = 26\sqrt{5}\,\text{cm}
Cevap: 26\sqrt{5}\,\text{cm}
5. Soru 11: İki Kareköklü İfadenin İşlemleri
Soru:
Yukarıda verilen eşitliklere göre (■ - ▲) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm Adımları:
- İlk olarak ▲’yı hesaplayalım:
- \sqrt{63} = \sqrt{9\cdot7} = 3\sqrt{7}
- \sqrt{175} = \sqrt{25\cdot7} = 5\sqrt{7}
⇒ ▲ = 3\sqrt{7} + 5\sqrt{7} = 8\sqrt{7}
- ■’yü bulmak için 7\sqrt{28} ifadesini sadeleştirelim:
- \sqrt{28} = \sqrt{4\cdot7} = 2\sqrt{7}
⇒ 7\sqrt{28} = 7\cdot2\sqrt{7} = 14\sqrt{7}
Denkleme yerine yazalım:
■ = 14\sqrt{7} - 8\sqrt{7} = 6\sqrt{7}
- \sqrt{28} = \sqrt{4\cdot7} = 2\sqrt{7}
- Son olarak (■ - ▲) işlemi:
■ - ▲ = 6\sqrt{7} - 8\sqrt{7} = -2\sqrt{7}
Cevap: -2\sqrt{7}
6. Soru 12: Kalan İp Uzunluğunu Hesaplama
Soru: Uzunluğu 15\sqrt{40}\,\text{cm} olan bir telin sol ucundan 3\sqrt{90}\,\text{cm}, sağ ucundan \sqrt{160}\,\text{cm} kısmı kesilmiştir. Kalan kısmın uzunluğunu cm cinsinden bulunuz.
Çözüm Adımları:
- Tüm kareköklü terimleri sadeleştirelim:
- \sqrt{40} = \sqrt{4\cdot10} = 2\sqrt{10} ⇒ 15\sqrt{40} = 15\cdot2\sqrt{10} = 30\sqrt{10}
- \sqrt{90} = \sqrt{9\cdot10} = 3\sqrt{10} ⇒ 3\sqrt{90} = 3\cdot3\sqrt{10} = 9\sqrt{10}
- \sqrt{160} = \sqrt{16\cdot10} = 4\sqrt{10}
- Kalan uzunluk:
30\sqrt{10} - 9\sqrt{10} - 4\sqrt{10} = (30 - 9 - 4)\sqrt{10} = 17\sqrt{10}\,\text{cm}
Cevap: 17\sqrt{10}\,\text{cm}
7. Özet Tablosu
| Soru No | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 7 | 7\sqrt{12} - \sqrt{27} - 3\sqrt{12} | 5\sqrt{3} cm |
| 8 | 10\sqrt{20} - \sqrt{500} - ★ = \sqrt{45} | 7\sqrt{5} |
| 9 | \sqrt{242} + 2\sqrt{32} | 19\sqrt{2} cm |
| 10 | 2\,(4\sqrt{20} + \sqrt{125}) | 26\sqrt{5} cm |
| 11 | (7\sqrt{28}- ( \sqrt{63} + \sqrt{175})) - ( \sqrt{63} + \sqrt{175}) | -2\sqrt{7} |
| 12 | 15\sqrt{40} - 3\sqrt{90} - \sqrt{160} | 17\sqrt{10} cm |
Özet ve Sonuç:
Bu sorularda kareköklü ifadeleri önce sadeleştirdik, ardından toplama ve çıkarma işlemlerini benzer terimler üzerinden yaptık. Her bir problemde temel adım, karekökleri \sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\,\sqrt{b} şeklinde ayırmak ve benzer terimleri toplayıp çıkarmaktır. Böylece sonuçlarda kök içindeki değerler aynı olduğundan basitçe katsayılar toplanıp çıkarılabilmiştir.