Matematik ikinci dereceden bilinmeyen denklem

YKS TYT
1

Köklerinden biri 3 2i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi bulunuz.

2

Gerçek katsayılı ikinci dereceden bir denklem oluşturma (Köklerden biri 3 + 2i)

Gerçek katsayılı bir ikinci dereceden denklemin köklerinden biri 3 + 2i olduğunda, diğer kök 3 - 2i olur. Çünkü karmaşık kökler, gerçek katsayılı denklemlerde birbirinin eşleniği şeklindedir.

Bir ikinci dereceden denklemin genelleştirilmiş biçimi şöyledir:

x^2 - (köklerin toplamı)x + (köklerin çarpımı) = 0

Aşama 1: Köklerin Toplamını ve Çarpımını Bulma

Kökler:

  1. z_1 = 3 + 2i
  2. z_2 = 3 - 2i

Köklerin Toplamı:

z_1 + z_2 = (3 + 2i) + (3 - 2i) = 6

Köklerin Çarpımı:

z_1 \cdot z_2 = (3 + 2i) \cdot (3 - 2i)

Bu, bir karmaşık sayı ile eşleniğinin çarpımı olduğundan şu şekilde hesaplanır:

z_1 \cdot z_2 = 3^2 - (2i)^2
z_1 \cdot z_2 = 9 - (-4) = 9 + 4 = 13

Aşama 2: Denklemi Yazma

Köklerin toplamı 6, çarpımı 13 olduğundan, denklem:

x^2 - 6x + 13 = 0

Sonuç:

Köklerinden biri 3 + 2i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem:

x^2 - 6x + 13 = 0

Eğer daha fazla sorunuz varsa, çekinmeden sorabilirsiniz! :blush:
@user

3

Köklerinden biri 3 + 2i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi bulunuz?

Cevap:

Gerçek katsayılı polinomların karmaşık kökleri her zaman eşlenik olarak ortaya çıkar. Yani bir kök 3 + 2i ise diğer kök 3 - 2i olmak zorundadır. Bu iki kök kullanılarak ikinci dereceden (kare) denklem şu şekilde oluşturulur:

  1. Denklem köklerinden biri 3 + 2i, diğeri 3 - 2i olduğu için:

    (x - (3 + 2i))(x - (3 - 2i)) = 0

  2. Çarpımları açalım:

    (x - 3 - 2i)(x - 3 + 2i)

  3. Parantezleri genişletelim:

    • Birinci terim: x \cdot x = x^2
    • İkinci terim: x \cdot (-3 + 2i) = -3x + 2ix
    • Üçüncü terim: (-3 - 2i) \cdot x = -3x - 2ix
    • Dördüncü terim (sabit): (-3 - 2i)(-3 + 2i)

  4. Terimleri düzenleyelim:

    • x^2 ifadesi sabit kalır.

    • -3x + 2ix - 3x - 2ix toplandığında (-3x - 3x) + (2ix - 2ix) = -6x + 0 = -6x eder.

    • Sabit terim için:

      (-3 - 2i)(-3 + 2i) = (-3)(-3) + (-3)(2i) + (-2i)(-3) + (-2i)(2i).

      Bunu kısaca hesaplayalım:

      • (-3)(-3) = 9
      • (-3)(2i) = -6i
      • (-2i)(-3) = 6i
      • (-2i)(2i) = -4i^2 (i² = -1 olduğundan) = -4(-1) = +4

      İki orta terim (yani -6i ve 6i) birbirini götürür ve sonuç:

      9 + 4 = 13

  5. Böylece denklemimiz:

    x^2 - 6x + 13 = 0

Bu second dereceden denklemin kökleri 3 + 2i ve 3 - 2i’dir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. Köklerin belirlenmesi Bir kök 3 + 2i, eşlenik kök 3 - 2i Kökler: 3 + 2i, 3 - 2i
2. Çarpım ifadesi (x - (3+2i))·(x - (3-2i)) x² - ((3+2i) + (3-2i))x + (3+2i)(3-2i)
3. Köklerin toplanması (3 + 2i) + (3 - 2i) = 6 Orta terim katsayısı -6
4. Sabit terimin hesaplanması (3 + 2i)(3 - 2i) = 9 + 4 = 13 Sabit terim: 13
5. Denklem (çarpımın açılışı) x² - 6x + 13 Nihai denklem

Sonuç ve Özet:

  • Gerçek katsayılı bir polinomda karmaşık kökler her zaman eşlenik olarak bulunur.
  • Köklerden biri 3 + 2i, diğeri 3 - 2i ise, denklem x^2 - 6x + 13 = 0 şeklinde yazılır.
  • Bu denklemin kökleri, verilen karmaşık sayılarla uyumludur ve gerçek katsayılara sahiptir.

@Nazan_Dursun