Matematik dersinde öğretmen tahtaya A(3, 0) ve B(7, 0) noktalarından geçen bir parabol çiziyor

Question Answer
1

2
Matematik dersinde öğretmen tahtaya A(3, 0) ve B(7, 0)
noktalarından geçen bir parabol çiziyor.
Daha sonra C(a, 0) ve parabol üzerinde D(x, 4) noktalarını
gösterip |AC| = |BC|= |CD| olduğunu söylüyor.
Buna göre, çizilen parabolün eksenleri kestiği noktaları
köşe kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 20
105
B)4
C) 25
D) 50
E)2
3

2 Matematik dersinde öğretmen tahtaya A(3, 0) ve B(7, 0) noktalarından geçen bir...
2 Matematik dersinde öğretmen tahtaya A(3, 0) ve B(7, 0) noktalarından geçen bir...1024×522 143 KB

2

Parabol ve Eksenleri Kestiği Noktalar ile Alan Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • İki nokta arasındaki uzaklık: d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • x eksenini x_1 ve x_2 noktalarında kesen parabol denklemi: y = k(x - x_1)(x - x_2)
  • Tabanı x ekseni üzerinde olan üçgenin alanı: \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — C(a, 0) Noktasının ve |CD| Uzaklığının Bulunması
A(-3, 0) ve B(7, 0) noktaları ile C(a, 0) noktası aynı doğru (x ekseni) üzerindedir.
|AC| = |BC| verildiğinden dolayı C noktası, A ve B noktalarının orta noktasıdır:

a = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \implies C(2, 0)

Buradan eşit olan uzaklıkların değeri:

|AC| = |2 - (-3)| = 5 \text{ birim}
|CD| = 5 \text{ birim}

Adım 2 — D(x, 4) Noktasının Belirlenmesi
C(2, 0) ile D(x, 4) noktaları arasındaki uzaklık formülü uygulanırsa:

|CD|^2 = (x - 2)^2 + (4 - 0)^2 = 5^2
(x - 2)^2 + 16 = 25
(x - 2)^2 = 9 \implies x - 2 = 3 \text{ veya } x - 2 = -3
x = 5 \quad \text{veya} \quad x = -1

Dolayısıyla parabol üzerindeki nokta D(5, 4) veya D(-1, 4) olur.

Adım 3 — Parabol Denkleminin Yazılması ve Başkatsayının Bulunması
Parabol x eksenini x = -3 ve x = 7 noktalarında kestiği için denklemi:

y = k(x + 3)(x - 7)

D(5, 4) noktası parabol denklemini sağlamak zorundadır:

4 = k(5 + 3)(5 - 7)
4 = k \cdot 8 \cdot (-2)
4 = -16k \implies k = -\frac{1}{4}

Böylece parabolün denklemi elde edilir:

y = -\frac{1}{4}(x + 3)(x - 7)

Adım 4 — Parabolün y Eksenini Kestiği Noktanın Bulunması
Parabolün y eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde x = 0 yazılır:

y = -\frac{1}{4}(0 + 3)(0 - 7) = -\frac{1}{4}(-21) = \frac{21}{4}

y eksenini kestiği köşe noktası \left(0, \frac{21}{4}\right) olur.

Adım 5 — Eksenleri Kestiği Noktaların Oluşturduğu Üçgenin Alanı
Köşe noktaları A(-3, 0), B(7, 0) ve E\left(0, \frac{21}{4}\right) olan üçgende:

  • Taban (|AB|): 7 - (-3) = 10 \text{ birim}
  • Yükseklik (h): E noktasının ordinatının mutlak değeri olan \frac{21}{4} \text{ birim}
\text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{10 \times \frac{21}{4}}{2} = \frac{\frac{105}{2}}{2} = \frac{105}{4} \text{ birimkare}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) \frac{105}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Simetri Ekseni: Parabolün tepe noktasından geçen doğru x = r = \frac{x_1 + x_2}{2} doğrusudur. Burada C noktası parabolün tepe noktasının apsisidir (x = 2).
  • Üçgenin Alanı: x ekseni üzerindeki doğru parçası taban alındığında, y ekseni üzerindeki köşe doğrudan yüksekliği verir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgen yerine, tepe noktasını da alarak dörtgen alanı veya tepe noktası üçgeni hesaplamak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Soruda belirtilen eksenleri kestiği noktalar x ekseninde 2 tane (A ve B), y ekseninde 1 tane olmak üzere toplam 3 tanedir ve bu 3 nokta doğrudan üçgenin köşeleridir.

Bu çözüm adımlarında takıldığın bir nokta var mı, benzer bir analitik-parabol sorusu daha çözmek ister misin?