Matematik dersinde öğretmen tahtaya A(-3, 0) ve B(7, 0)
noktalarından geçen bir parabol çiziyor.
Daha sonra C(a, 0) ve parabol üzerinde D(x, 4) noktalarını
gösterip |AC| = |BC| = |CD| olduğunu söylüyor.
Buna göre, çizilen parabolün eksenleri kestiği noktaları
köşe kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 20
B
C) 25
D) 50
E)
105
3.
Parabol ve Analitik Geometri ile Üçgen Alanı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Eksenleri kestiği noktaları bilinen parabol denklemi:y = k \cdot (x - x_1)(x - x_2)
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü:|CD| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
- Tabanı x ekseni üzerinde olan üçgenin alanı:\text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — C Noktasının Koordinatlarını ve Uzaklık Değerini Bulma
A(-3, 0) ve B(7, 0) noktaları x ekseni üzerindedir. C(a, 0) noktası da x ekseni üzerinde olup |AC| = |BC| eşitliği verildiğinden, C noktası [AB] doğru parçasının orta noktasıdır:
a = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \implies C(2, 0)
Buradan eşit olan uzaklıkların boyu:
|AC| = |2 - (-3)| = 5 \text{ birim} \implies |AC| = |BC| = |CD| = 5 \text{ birim}
Adım 2 — D(x, 4) Noktasını ve Parabolün Başkatsayısını Belirleme
C(2, 0) ile D(x, 4) arasındaki uzaklık 5 birimdir. İki nokta arası uzaklık bağıntısından:
\sqrt{(x - 2)^2 + (4 - 0)^2} = 5
(x - 2)^2 + 16 = 25 \implies (x - 2)^2 = 9
x - 2 = 3 \implies x = 5 \quad \text{veya} \quad x - 2 = -3 \implies x = -1
Parabol x eksenini x_1 = -3 ve x_2 = 7 noktalarında kestiğinden denklemi:
y = k(x + 3)(x - 7)
D(5, 4) veya D(-1, 4) noktası parabol üzerinde olduğundan denklemi sağlar:
4 = k(5 + 3)(5 - 7) \implies 4 = k \cdot 8 \cdot (-2) \implies 4 = -16k \implies k = -\frac{1}{4}
Parabolün tam denklemi:
y = -\frac{1}{4}(x + 3)(x - 7)
Adım 3 — Parabolün y Eksenini Kestiği Noktayı Bulma
Bir eğrinin y eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 yazılır:
y = -\frac{1}{4}(0 + 3)(0 - 7) = -\frac{1}{4} \cdot (-21) = \frac{21}{4}
Böylece parabolün eksenleri kestiği noktalar:
A(-3, 0), \quad B(7, 0), \quad E\left(0, \frac{21}{4}\right)
Adım 4 — Üçgenin Alanını Hesaplama
Köşeleri A(-3, 0), B(7, 0) ve E\left(0, \frac{21}{4}\right) olan üçgende:
- Taban ([AB] kenarı): |AB| = 7 - (-3) = 10 \text{ birim}
- Yükseklik (y ekseni üzerindeki kesişim noktası): h = \frac{21}{4} \text{ birim}
\text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{10 \times \frac{21}{4}}{2} = \frac{\frac{105}{2}}{2} = \frac{105}{4} \text{ birimkare}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \frac{105}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Simetri Ekseni: Parabolün tepe noktasının apsisi ile x eksenini kestiği noktaların orta noktası aynıdır. Bu soruda C(2, 0) noktası aynı zamanda parabolün simetri ekseni üzerindedir (x = 2).
- Eksen Kesişimleri: x ekseni için y = 0, y ekseni için x = 0 değerleri verilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: D(x, 4) noktasının tepe noktası olduğunu varsaymak.- Doğru Yaklaşım: Soruda D noktasının tepe noktası olduğu belirtilmemiştir. Bu sebeple |CD| = 5 bağıntısından yola çıkılarak apsis değerleri bulunmalıdır.
Benzer bir parabol ve tepe noktası ilişkisi içeren pekiştirme sorusu çözmek ister misin?