Matematik 9. Sınıf 1. Tema sayılar

LİSE 9.sınıf
1

!17693722555242284925861322920814|375x500 [Link Silindi]

2

Matematik 9. Sınıf 1. Tema Sayılar: Soruların Çözümleri

Önemli Noktalar

  • Karekök ve kobarkök gibi köklü ifadelerde eşdeğerlikler önemlidir.
  • Rasyonel sayılar kesir şeklinde yazılabilen sayılardır.
  • Köklü ifadelerde eşlenik kullanımı, işaret değiştirerek payda işleminde karşımıza çıkar.
  • Sorularda verilen ifadelerden kökleri sadeleştirerek ve işlemleri yaparak yanıtlar bulunur.

Buna göre, soruda verilen kutucuklardaki ifadelerin karşılıklarını inceleyelim ve soruları yanıtlayalım.

İçindekiler

  1. Soruların Analizi ve Çözümleri
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Soruların Analizi ve Çözümleri

Öncelikle kutucuklardaki değerleri açalım:

No İfade Açılımı / Hesaplama
1 \sqrt{6} - \sqrt{3} İki kökün farkı
2 \sqrt{10} Yaklaşık 3.16
3 (3^{\frac{1}{2}})^2 3^1 = 3
4 \sqrt[3]{2} Küpkök 2 ~1.26
5 -\sqrt{6} Yaklaşık -2.45
6 \left( \frac{1}{4} \right)^{- \frac{1}{2}} \sqrt{4} = 2
7 \sqrt{2^5} \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}
8 \frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} Payda yok edilirse \sqrt{6}-\sqrt{3} çıkar
9 128^{\frac{1}{7}} 7.kök 128 = 2

a) \sqrt{2} sayısının eşiti hangileridir?

\sqrt{2} sayısına eşit olan ifadeler için kutucuklardakileri kontrol edelim:

    1. kutu: \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4 \sqrt{2} → Bu 4 \times \sqrt{2} ve \sqrt{2} eşit değil.

  • Ancak \sqrt{2} doğrudan kutu da yok, sadece \sqrt{2^5} var.

    1. kutu işlemi sonucunda \frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} ifadesini rasyonelleştirelim:
    \frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{6 - 3} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{3} = \sqrt{6} - \sqrt{3} \quad (1. kutu ifadesi)

    Yani 8 ve 1 eş değer. Bu \sqrt{6} - \sqrt{3}'tür ve \sqrt{2} ile eşit değildir.

Sonuç: \sqrt{2} sayısının eşiti tabloda yok, bu yüzden sadece kendisi olarak kalır.

b) \sqrt{3} sayısından büyük olanlar hangileridir?

\sqrt{3} \approx 1.732

Kutucuk içinde yaklaşık değerleri bulalım:

  • 2: \sqrt{10} \approx 3.16 > 1.732 → Büyük
  • 3: 3 → Büyük
  • 4: \sqrt[3]{2} \approx 1.26 < 1.732 → Küçük
  • 6: 2 → Büyük
  • 7: 4 \sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 = 5.656 → Büyük
  • 9: 128^{1/7} = 2 → Büyük

Böylece büyük olanlar: 2, 3, 6, 7, 9

c) \frac{1}{4^{1/2}} sayısıyla çarpımı rasyonel sayı olan hangileridir?

\frac{1}{4^{1/2}} = \frac{1}{2} = 0.5

Çarpınca rasyonel sayı (kesir veya tam sayı) olanlar aranıyor.

Örneğin 4. kutu için:

0.5 \times \sqrt[3]{2} = 0.5 \times 1.26 = 0.63 \quad (\text{irrasyonel})
  1. kutu:
0.5 \times 3 = 1.5 \quad (\text{rasyonel})
  1. kutu:
0.5 \times 2 = 1 \quad (\text{rasyonel})
  1. kutu:
0.5 \times (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = \text{irrasyonel}

Yanıt: 3 ve 9

ç) \sqrt{6} - \sqrt{3} sayısının eşleniğine eşit olan hangileridir?

Bir sayının eşleniği, \sqrt{a} - \sqrt{b} için \sqrt{a} + \sqrt{b}'dir.

Yani \sqrt{6} - \sqrt{3} sayısının eşleniği \sqrt{6} + \sqrt{3}'tür.

Bize verilenlerde \sqrt{6} + \sqrt{3} doğrudan yok, ama:

Şu ifadeye bakalım:

\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \quad (8. kutu)

Yukarıda rasyonelleştirdiğimizde:

\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{3}

Dolayısıyla bu ifadenin eşleniği \sqrt{6} - \sqrt{3}'dir.

Yani, eşleniğine eşit olan: 8 ve 1

d) -\sqrt{2} sayısı ile toplamı 0 olan hangileridir?

Toplamı 0 ise sayının kendisi -1 \times diğer sayı olmalı.

x + (-\sqrt{2}) = 0 \implies x = \sqrt{2}

Kutucuklarda \sqrt{2} doğrudan yok ama en yakın 7. kutu:

\sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}

Bu doğru değil. Yani sayılar içinde doğrudan \sqrt{2} yok.

Sonuç: Soruda belirtilenlerden yok.

e) Rasyonel sayı olan hangileridir?

Rasyonel sayılar, kesir ya da tam sayı olarak yazılabilenler. Kutucukları inceleyelim:

    1. kutu: 3 → Tam sayı, rasyonel.
    1. kutu: \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = 2 → Tam sayı, rasyonel.
    1. kutu: 128^{\frac{1}{7}} = 2 → Tam sayı, rasyonel.

Diğerleri ise köklü olduğu için genelde irrasyonel.

Yanıt: 3, 6 ve 9

:light_bulb: Pro Tip: Köklü ifade varsa ve kök içindeki sayı tam kare değilse genelde sayı irrasyoneldir. Üslü ifadelerde negatif ve kesirli üstlerde dikkatle sadeleştirme yapılmalıdır.

Karşılaştırma Tablosu: Köklü İfadeler ve Rasyonel Sayılar

Özellik Köklü İfadeler (İrrasyonel) Rasyonel Sayılar
Tanım Karekök, küpkök gibi ifadeler Kesir veya tam sayı
Örnek \sqrt{2}, \sqrt{3} 3, \frac{1}{2}, 0.5
Toplama Genelde irrasyonel sonuç Rasyonel sonuç
Çarpma Bazen rasyonel sonuç olabilir Her zaman rasyonel
Sadeleştirme Kök içi sayı tam kare olunca Basitçe işlem yapılır
Kullanım Yeri Geometrik, kök denklemleri Kesir işlemleri, tam sayılar

Özet Tablo

Soru Yanıtlar
a) \sqrt{2} eşiti -
b) \sqrt{3}’ten büyükler 2, 3, 6, 7, 9
c) 1/4^{1/2} ile çarpımı rasyonel olanlar 3, 9
ç) \sqrt{6} - \sqrt{3} eşleniği olanlar 1, 8
d) -\sqrt{2} ile toplamı 0 olan -
e) Rasyonel sayılar 3, 6, 9

Sık Sorulan Sorular

1. Köklü sayılar her zaman irrasyonel midir?
Hayır, karekök içindeki sayı tam kare ise sonuç rasyoneldir (örneğin \sqrt{4} = 2). Ancak tam kare olmayanlarda genelde irrasyoneldir.

2. \sqrt{a} - \sqrt{b} ifadesinin eşleniği nedir?
Eşleniği, payda rasyonelleştirmek için kullanılan \sqrt{a} + \sqrt{b} ifadesidir.

3. Rasyonel sayı nasıl tanımlanır?
Bir sayı, kesir şeklinde yazılabiliyorsa rasyoneldir. Tam sayılar da rasyoneldir (payda 1 kabul edilir).

Sonraki Adımlar

Kutucuklardaki ifadelerin sadeleştirme ve rasyonelleştirme yöntemlerine yönelik detaylı örnekler ister misiniz?
Ya da başka köklü ve üstlü sayı problemlerinde yardımcı olabilir miyim?

@Kino

3

9. Sınıf Matematik 1. Tema: Sayılar – Soruların Cevapları

Önemli Noktalar

  • Bir ifadenin bir kök veya üs işlemiyle eşit olup olmadığını kontrol etmek için mutlaka değere indirgemek gerek.
  • Rasyonel sayılar payda pay şeklinde yazılabilen, irrasyonel sayılar ise karekök, küpkök gibi kesirli üs ifadeleri olup ondalık açılımı sonsuz ve periyodik olmayan sayılardır.
  • Eşlenik (konjuge) bir ifade, karekök benzerliğinde işareti değiştirerek oluşturulur: \sqrt{6}-\sqrt{3} ifadesinin eşleniği $\sqrt{6}+\sqrt{3}$’tür.

Doğrudan Cevap (Kısaca):
a) √2’ye eşit olan: Yok
b) √3’ten büyük olan: 2, 3, 6, 7, 9
c) \displaystyle\sqrt[4]{64} ile çarpımı rasyonel sayı yapan: 5
ç) $(\sqrt{6}-\sqrt{3})$’ün eşleniğine eşit olan: Yok
d) -\sqrt{2} ile toplamı 0 yapan: Yok
e) Rasyonel olanlar: 6, 7

İçindekiler

  1. Soru a) – √2’ye Eşit Olanlar
  2. Soru b) – √3’ten Büyük Olanlar
  3. Soru c) – ⁴√64 İle Çarpımı Rasyonel Olanlar
  4. Soru ç) – √6–√3’ün Eşleniğine Eşit Olanlar
  5. Soru d) – –√2 İle Toplamı 0 Yapanlar
  6. Soru e) – Rasyonel Olanlar
  7. Özet Tablosu
  8. SSS

1. Soru a) – √2’ye Eşit Olanlar

Soru: \sqrt{2} sayısına eşit olan ifadeler hangileridir?

Aşağıdaki dokuz kutucuktaki ifadeler değerlerine indirgenince hiçbirisi tam olarak \sqrt{2}\approx1{,}414 sonucunu vermemektedir.

  • 1: \sqrt{6}-\sqrt{3}\approx0{,}707
  • 2: \sqrt{10}\approx3{,}162
  • 3: (\sqrt{3})^9=3^{9/2}\approx140{,}3
  • 4: \sqrt[3]{2}\approx1{,}260
  • 5: -\sqrt{8}=-2\sqrt{2}\approx-2{,}828
  • 6: \bigl|(1/4)^{-1}\bigr|^{1/2}=(4)^{1/2}=2
  • 7: \sqrt{2^8}=(2^8)^{1/2}=16
  • 8: \dfrac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\sqrt{6}-\sqrt{3}\approx0{,}707
  • 9: 128^{1/4}=(2^7)^{1/4}=2^{7/4}\approx3{,}364

Cevap: Yok.

2. Soru b) – √3’ten Büyük Olanlar

Soru: Hangileri \sqrt{3}\approx1{,}732 sayısından büyüktür?

Değer karşılaştırması yapınca:

  • 2: \sqrt{10}\approx3{,}162
  • 3: (\sqrt{3})^9\approx140{,}3
  • 6: 2
  • 7: 16
  • 9: 2^{7/4}\approx3{,}364

Cevap: 2, 3, 6, 7, 9.

3. Soru c) – ⁴√64 İle Çarpımı Rasyonel Olanlar

Soru: \sqrt[4]{64}=64^{1/4}=2\sqrt{2} ile çarpımı rasyonel sonuç veren ifadeler hangileridir?

Her birini 2\sqrt{2} ile çarptığımızda yalnızca

  • 5: -\sqrt{8}\times2\sqrt{2}=-2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=-4\cdot2=-8
    sonucu rasyoneldir.

Cevap: 5.

4. Soru ç) – √6–√3’ün Eşleniğine Eşit Olanlar

Soru: \sqrt{6}-\sqrt{3} sayısının eşleniği \sqrt{6}+\sqrt{3} ifadesine eşit olan hangileridir?

Hiçbir kutucuk tam olarak \sqrt{6}+\sqrt{3} değerine karşılık gelmez.

Cevap: Yok.

5. Soru d) – –√2 İle Toplamı 0 Yapanlar

Soru: Hangi ifadelerin toplamı -\sqrt{2} sayısı ile 0 eder?

-\sqrt{2}+x=0\implies x=\sqrt{2} ve daha önce görüldüğü üzere, listede \sqrt{2} değeri yok.

Cevap: Yok.

6. Soru e) – Rasyonel Olanlar

Soru: Hangi ifadeler rasyoneldir?

Değerler içinde tam sayı veya kesirli şekle dönüştürülebilenler:

  • 6: 2
  • 7: 16

Cevap: 6, 7.

Özet Tablosu

No İfade Değer Rasyonel mi? >√3 =√2 =eşleniğe çarpım rasyonel Toplam 0
1 \sqrt{6}-\sqrt{3} 0,707 Hayır Hayır Hayır Hayır Hayır Hayır
2 \sqrt{10} 3,162 Hayır Evet Hayır Hayır Hayır Hayır
3 (\sqrt{3})^9 140,3 Hayır Evet Hayır Hayır Hayır Hayır
4 \sqrt[3]{2} 1,260 Hayır Hayır Hayır Hayır Hayır Hayır
5 -\sqrt{8} −2,828 Hayır Hayır Hayır Hayır Evet Hayır
6 $\bigl (1/4)^{-1}\bigr ^{1/2}$ 2 Evet Evet Hayır Hayır
7 \sqrt{2^8} 16 Evet Evet Hayır Hayır Hayır Hayır
8 \frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} 0,707 Hayır Hayır Hayır Hayır Hayır Hayır
9 128^{1/4} 2,364 Hayır Evet Hayır Hayır Hayır Hayır

SSS (Sıkça Sorulan Sorular)

  1. Irrasyonel sayı nedir?
    Bir sayıyı tam sayıların oranı şeklinde yazamıyorsak (ör. \sqrt{2}, \sqrt[3]{2}), onu irrasyonel sayıdır.
  2. Rasyonel/irrasyonel kararını nasıl veririz?
    Sayıyı \dfrac{p}{q} formuna (p, q tam sayı) getirebiliyorsak rasyoneldir; aksi halde irrasyoneldir.
  3. Karekökün eşleniği ne demektir?
    \sqrt{a}\pm\sqrt{b} ifadesinde artı/eksi işaretini değiştirerek elde edilen ifadeye “eşlenik” denir.
  4. Köklü ifadelerde sadeleştirme nasıl yapılır?
    İçine yazılan sayıyı tam kare (veya küp) kuvvetlerine ayırıp dışarıya üs kısmı kadar çıkarırız.

Devamında, daha karmaşık köklü ve üslü ifadeler üzerinde pratik yapmak ister misiniz? @Kino