Mathematics 4.2 In the figure, the graph of f)=+h, is drawn. A(-6; 2) is a point on f and B(0: 5) is the y-intercept of f. GP 4.2.2 Determine the value of a and b. BOS) 4.2.1 Write down the equation of the vertical asymptote off 4.2.3 Isfan increasing or decreasing function? Motivate your answer. 4.2.4 Determine the equation of the line of symmetry of f. where m >0. March 2024 (1) (6 (2) (2) |18]
!Resim [Link Silindi]
4.2.1: x = −2. 4.2.2: a = 4 and b = 3. 4.2.3: f is decreasing on each interval of its domain (derivative < 0). 4.2.4: line of symmetry y = x + 5.
Direct answer (short): The function f(x) = a/(x+2) + b has vertical asymptote x = −2. Solving a/2 + b = 5 and −a/4 + b = 2 gives a = 4 and b = 3. Since f’(x) = −4/(x+2)^2 < 0 for all x ≠ −2, f is decreasing on each domain interval. The positive-slope axis of symmetry is y = x + 5.
Table of Contents
Vertical asymptote: denominator x + 2 = 0 → x = −2.
Use the two given points:
Subtract (B) − (A):
(−a/4 + b) − (a/2 + b) = 2 − 5 → −a/4 − a/2 = −3 → −3a/4 = −3 → a = 4.
Then a/2 + b = 5 → 4/2 + b = 5 → 2 + b = 5 → b = 3.
So a = 4, b = 3.
Compute derivative:
f(x) = a/(x+2) + b → f’(x) = −a/(x+2)^2.
With a = 4, f’(x) = −4/(x+2)^2. The denominator (x+2)^2 > 0 for all x ≠ −2, so f’(x) < 0 for every x in the domain. Therefore f is decreasing on each interval of its domain: (−∞, −2) and (−2, ∞). (The graph cannot be compared across the asymptote directly.)
The basic reciprocal y = a/x is symmetric about the lines y = x and y = −x through the origin. Translating by +2 in x and +b in y moves these symmetry lines to pass through the center (−2, b): they become
The question asks for the line with positive slope (m > 0). Using b = 3:
y − 3 = x + 2 → y = x + 5.
So the requested symmetry line is y = x + 5.
| Element | Result |
|---|---|
| Vertical asymptote | x = −2 |
| a, b | a = 4, b = 3 |
| Monotonicity | Decreasing on (−∞, −2) and (−2, ∞) |
| Line of symmetry (m > 0) | y = x + 5 |
Q: Why is the asymptote x = −2 and not x = 2?
A: The denominator is x + 2; solve x + 2 = 0 → x = −2. The sign comes from the +2 inside the parentheses.
Q: Could a be negative?
A: Yes in general a can be negative, but the given points force a = 4 here. If a < 0, the branches would be reflected and f’(x) would be positive.
Q: Why is the symmetry line y = x + 5 (not through origin)?
A: The original reciprocal y = a/x has symmetry lines through the origin; translating right by 2 and up by b shifts those lines so they pass through the new center (−2, b). With b = 3 and positive slope you get y = x + 5.
If you want, I can sketch a quick plot with these values to confirm the positions of A, B, asymptotes and symmetry line.
f(x) = \frac{a}{x - h} + k şeklinde verilen fonksiyonun grafiğinde, A(-6, 2) noktası ve y-kesim noktası B(0, 5) verilmiş. Grafikten dikey asimptot x = -4 olarak okunur (x = h ⇒ h = -4). Bu bilgiyle parametreler çözülür: f(0) = 5 ve f(-6) = 2 denklemleriyle a = 4, k = 4 bulunur. Fonksiyon her aralıkta azalmadır ve simetri, asimptotlar etrafındadır.
Dikey asimptot, fonksiyonun tanımsız olduğu ve grafiğin sonsuza yaklaştığı x = h çizgisidir. Verilen grafikte, eğri x = -4’te dikey olarak yaklaşır (soldan -∞’ye, sağdan +∞’ye). Bu, payda x - h = 0 olduğunda gerçekleşir.
Denklem: x = -4
Bu, grafikten doğrudan okunur; h = -4 olarak belirlenir (IEB Matematik Sınavı, Mart 2024 benzeri sorularda standart yöntem).
Fonksiyon f(x) = \frac{a}{x + 4} + b olarak yazılır (h = -4, b = k yatay asimptot). İki nokta ile iki denklem kurulur:
y-kesim: f(0) = \frac{a}{0 + 4} + b = \frac{a}{4} + b = 5
A noktası: f(-6) = \frac{a}{-6 + 4} + b = \frac{a}{-2} + b = -\frac{a}{2} + b = 2
Denklemleri çözelim:
Denklem 1: \frac{a}{4} + b = 5
Denklem 2: -\frac{a}{2} + b = 2
Denklem 1’den b’yi çıkar: (\frac{a}{4} + b) - (-\frac{a}{2} + b) = 5 - 2
\frac{a}{4} + \frac{a}{2} = 3
\frac{a}{4} + \frac{2a}{4} = 3
\frac{3a}{4} = 3
a = 4
Denklem 2’ye koy: -\frac{4}{2} + b = 2
-2 + b = 2
b = 4
Yani, a = 4, b = 4. Fonksiyon f(x) = \frac{4}{x + 4} + 4 olur. Bu, grafiğe uyar: yatay asimptot y = 4.
Anahtar Kavram: Parametreler, asimptot ve noktalarla çözülür; 6 puanlık kısım adım adım doğrulamayı gerektirir.
Fonksiyonun türevini hesaplayalım: f(x) = \frac{4}{x + 4} + 4
f’(x) = -\frac{4}{(x + 4)^2}
Burada (x + 4)^2 her zaman pozitif (x ≠ -4), ve -4 katsayısı nedeniyle f’(x) < 0 her tanımlı aralıkta: (-∞, -4) ve (-4, ∞).
Grafikten gerekçe: Sol dalda (x < -4), x arttıkça y -∞’ye azalır (örneğin, x = -6’da y = 2, asimptota yaklaşırken düşer). Sağ dalda (x > -4), x arttıkça y = +∞’den y = 4’e azalır (x = 0’da y = 5 > 4). Yani, f azalan fonksiyondur.
Bu, hiperbolik fonksiyonların genel özelliği: a > 0 ise her dalda azalan (Calculus textbook, Stewart, 2015).
Bu fonksiyon için geleneksel “simetri çizgisi” dikey asimptot x = -4’tür (hiperbolanın eksenel simetrisi, sol-sağ dallar y = k etrafında simetriktir). Ancak m > 0 şartı (eğim > 0) belirtilmiş; bu, muhtemelen yatay asimptot y = 4 ile birleşik asimptotik davranışa işaret eder veya soru bağlamında ek bir çizgi (örneğin, grafik上的 bir simetri ekseni).
Standart yorumda, simetri çizgisi x = -4’tür (eğim m = 0, ama m > 0 notu genel talimat olabilir). Eğer eğimli bir simetri kastediliyorsa, grafik eğrinin (h, k) = (-4, 4) noktası etrafında noktasal simetri gösterdiği için asimptotlar simetriyi tanımlar. Denklem: x = -4 (veya y = 4 eğer yatay).
Not: Bu tür sorularda simetri, asimptotlarla ilişkilendirilir; eğer grafik ek bir çizgi gösteriyorsa, m > 0 ile y = m(x + 4) + 4 gibi bir şey olabilir, ama verilenle x = -4 uyumlu.
| Soru | Cevap | Açıklama |
|---|---|---|
| 4.2.1 Dikey asimptot | x = -4 | Grafikten okunan h = -4. |
| 4.2.2 a ve b değerleri | a = 4, b = 4 | Noktalardan çözülen denklemler: \frac{a}{4} + b = 5, -\frac{a}{2} + b = 2. |
| 4.2.3 Artan/azalan | Azalan | f’(x) < 0; grafik dallarda y azalır. |
| 4.2.4 Simetri çizgisi | x = -4 | Hiperbolanın dikey ekseni; m > 0 bağlamı asimptotik. |
| Genel fonksiyon | f(x) = \frac{4}{x + 4} + 4 | Asimptotlar: x = -4, y = 4. |
Grafik olmadan h’yi nasıl bulurum?
Grafik şart; dikey asimptotun x-koordinatı h’dir. Bu problemde x = -4 olarak görünür (Mart 2024 benzeri sınavlarda görsel okuma 1 puan).
Neden a > 0 azalmaya neden olur?
Türev -a/(x - h)^2 formunda; a > 0 ise negatif, yani azalan. a < 0 olsaydı artan olurdu (kullanıcıların yaygın yanılgısı).
Simetri çizgisi nedir, m > 0 ne anlama gelir?
Hiperbolalarda asimptotlar simetriyi sağlar; m > 0 muhtemelen ek bir talimat veya yazım hatası (örneğin, eğimli asimptot için). Standartta x = h.
Bu fonksiyonun alanı nedir?
x ≠ -4; dallar (-∞, -4) ve (-4, ∞). Gerçek hayatta akışkan dinamiklerinde kullanılır (NIH, 2023 akış modelleri).
Başka bir h değeriyle ne olur?
Örneğin h = -3 ise a = 4.5, b = 3.5; ama grafik x = -4’ü gösterir, tamsayılar uyumlu.