2⁶.3⁵.6⁹ ÷ 2⁵.3⁴.6³
What is the simplified form of the expression 2^6 \cdot 3^5 \cdot 6^9 \div 2^5 \cdot 3^4 \cdot 6^3?
Answer:
Step 1: Understand the Expression
To simplify this expression, we need to apply the rules of exponents. The expression involves both multiplication and division of terms with exponents. It is crucial to know the following two exponent rules:
-
Multiplying with the same base: When multiplying two exponents that have the same base, you add the exponents.
- a^m \cdot a^n = a^{m+n}
-
Dividing with the same base: When dividing two exponents that have the same base, you subtract the exponents.
- a^m \div a^n = a^{m-n}
Step 2: Factorize the Terms
Each part of the expression must be expressed in terms of powers with similar bases.
-
Note that 6^9 and 6^3 can be rewritten using their prime factors:
6 = 2 \cdot 3Therefore, 6^9 = (2 \cdot 3)^9 = 2^9 \cdot 3^9 and 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3.
-
So the expression becomes:
\frac{2^6 \cdot 3^5 \cdot 2^9 \cdot 3^9}{2^5 \cdot 3^4 \cdot 2^3 \cdot 3^3}
Step 3: Combine Like Terms
Combine the terms in the numerator and the terms in the denominator:
- Numerator: 2^6 \cdot 2^9 = 2^{6+9} = 2^{15} and 3^5 \cdot 3^9 = 3^{5+9} = 3^{14}.
- Denominator: 2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 and 3^4 \cdot 3^3 = 3^{4+3} = 3^7.
Let’s rewrite the expression:
\frac{2^{15} \cdot 3^{14}}{2^8 \cdot 3^7}
Step 4: Simplify the Expression
Now, subtract the exponents from the like bases:
- 2^{15} \div 2^8 = 2^{15-8} = 2^7.
- 3^{14} \div 3^7 = 3^{14-7} = 3^7.
Step 5: Combine and Write the Final Expression
After simplification, the expression becomes:
2^7 \cdot 3^7
This can further be combined using the property (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n:
- = (2 \cdot 3)^7 = 6^7.
Final Answer:
The simplified form of the expression 2^6 \cdot 3^5 \cdot 6^9 \div 2^5 \cdot 3^4 \cdot 6^3 is 6^7.
Türkçe anlatir misin
İfadeyi Türkçe Açıklama:
İfade:
2^6 \cdot 3^5 \cdot 6^9 \div 2^5 \cdot 3^4 \cdot 6^3
Çözüm:
Adım 1: İfadeyi Anlamak
Bu ifadeyi sadeleştirmek için üslü sayılara dair bazı kuralları kullanmamız gerekiyor:
-
Aynı tabana sahip sayıların çarpımı: İşlem yapılırken üsler toplanır.
- a^m \cdot a^n = a^{m+n}
-
Aynı tabana sahip sayıların bölümü: İşlem yapılırken üsler çıkarılır.
- a^m \div a^n = a^{m-n}
Adım 2: Terimlerin Ayrıştırılması
Her terimin benzer tabanlar üzerinden yeniden yazılması gerekmektedir.
-
6^9 ve 6^3 ifadeleri asal çarpanları cinsinden yazılabilir:
6 = 2 \cdot 3Bu durumda, 6^9 = (2 \cdot 3)^9 = 2^9 \cdot 3^9 ve 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 olarak yazılabilir.
-
Bu değişiklikleri ifademize uygulayalım:
\frac{2^6 \cdot 3^5 \cdot 2^9 \cdot 3^9}{2^5 \cdot 3^4 \cdot 2^3 \cdot 3^3}
Adım 3: Benzer Terimlerin Birleştirilmesi
Pay ve payda içindeki benzer tabanlar birleştirilir:
- Pay: 2^6 \cdot 2^9 = 2^{6+9} = 2^{15} ve 3^5 \cdot 3^9 = 3^{5+9} = 3^{14}.
- Payda: 2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 ve 3^4 \cdot 3^3 = 3^{4+3} = 3^7.
Yeniden yazalım:
\frac{2^{15} \cdot 3^{14}}{2^8 \cdot 3^7}
Adım 4: İfadeyi Sadeleştirme
Benzer tabanlar içindeki üsleri çıkararak sadeleştirin:
- 2^{15} \div 2^8 = 2^{15-8} = 2^7.
- 3^{14} \div 3^7 = 3^{14-7} = 3^7.
Adım 5: Nihai İfade
Sadeleştirme sonrasında ifade:
2^7 \cdot 3^7
Bu ifadeyi (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n özelliğiyle birleştirelim:
- = (2 \cdot 3)^7 = 6^7.
Nihai Cevap:
İfadenin sadeleştirilmiş hali 6^7’dir.