55
Soru Fotoğrafı:
Bu soruda istenen açı $x$’tir. Çözümde eşit kirişler, merkez açı, ve aynı yayı gören çevre açı ilişkisi kullanılır.
Adım 1 — Eşit kirişleri belirleyelim
Şekilde işaretli olan iki kiriş eşittir:
- BC = CD
Bu durumda eşit kirişler eşit yayları görür.
Yani:
- \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}
Adım 2 — Merkez açıyı bulalım
OA ve OB yarıçap olduğundan, O merkezdir.
\angle OBC = 55^\circ verilmiş.
OBC üçgeninde:
- OB = OC çünkü ikisi de yarıçap
O halde üçgen ikizkenardır ve taban açıları eşittir:
\angle OCB = \angle OBC = 55^\circ
Bu durumda merkez açı:
\angle BOC = 180^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 70^\circ
Adım 3 — Eşit yaylardan ikinci merkezi açı
\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} olduğuna göre, bu yayları gören merkez açılar da eşittir:
\angle BOC = \angle COD = 70^\circ
Adım 4 — İstenen açıyı bulalım
İstenen açı, CA kirişi ile CD kirişi arasındaki açı yani:
x = \angle ACD
Bu açı, aynı yayı gören çevre açı mantığıyla hesaplanır.
\angle ACD, \overset{\frown}{AD} yayını görür.
Toplam merkez açı:
\angle AOB = 180^\circ
Çünkü A, O, B doğrusal.
Dolayısıyla üst yarım dairede:
\angle AOC + \angle COB = 180^\circ
\angle AOC + 70^\circ = 180^\circ
\angle AOC = 110^\circ
Şimdi C noktasındaki açı, yarım dairede kalan açıdan:
\angle ACD = \frac{\angle AOD}{2}
Ama \angle AOD, şu şekilde bulunur:
\angle AOD = \angle AOC - \angle COD = 110^\circ - 70^\circ = 40^\circ
O halde:
x = \angle ACD = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 20^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. İkizkenar üçgen
- Tanım: İki kenarı eşit olan üçgendir.
- Bu problemde: OB = OC olduğu için OBC üçgeni ikizkenardır.
2. Eşit kirişler
- Tanım: Bir çemberde eşit kirişler eşit yayları görür.
- Bu problemde: BC = CD olduğundan \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}.
3. Çevre açı
- Tanım: Bir çemberde yayı gören açıdır.
- Bu problemde: İstenen açı çevre açı ilişkisiyle bulunur.
Sık Yapılan Hatalar:
Eşit kirişleri yayla ilişkilendirmemek
- Yanlış: Sadece kenar eşitliğine bakıp yayları düşünmemek
- Doğru: Eşit kirişlerin eşit yay gördüğünü kullanmak
- Neden yanlış: Çember sorularında temel bağlantı bu özelliktir
Yarıçapları fark etmemek
- Yanlış: OB ve $OC$’yi eşit kabul etmemek
- Doğru: İkisi de yarıçap olduğu için eşit almaktır
- Neden yanlış: Bu bilgi olmadan üçgen açıları bulunamaz
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Sorunun Çözümü
Kullanılan Kurallar:
- Çemberde eşit kirişlerden yayılar okun açıları eşittir.
- Üçgen iç açıları toplamı 180°'dir.
- İşaretli açılar ve verilen değerler eşitleme için kullanılır.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Eşit Kirişlere Dikkat Etme
Kirişler DC ve CB birbirine eşittir, çünkü üzerlerinde çift çizgi var. Bu nedenle DC ve CB kirişleri eşittir, dolayısıyla bu kirişlerden yayılan açılar eşittir.
Bu durumda, \alpha ve onun karşısındaki diğer açı eşittir.
Adım 2 — OK doğrusundaki açı
OK doğrusu üzerinde verilen açının 55° olduğunu görüyoruz.
Adım 3 — Üçgen açılarının toplamı
Üçgen ADC veya ABC’ye bakalım. Üçgen ABC’deki açıların toplamı 180° olmalıdır.
Adım 4 — Açıların hesaplanması
Şekilde \alpha açısını bulmamız isteniyor.
- Öncelikle, DC = CB olduğundan, \angle DCA = \alpha ve \angle BCA = \alpha olarak yazılabilir.
- \angle ACO ve \angle ACO ile verilen 55° açı toplamı 180° olmalı.
Şimdi \alpha açısını bulalım:
Çemberde aynı kirişten yayılan açılar eşit olduğundan ve verilen açı 55°, diğer açı;
\alpha + 55 = 90 (dik açı olduğu varsayımı ile).
Buradan,
\alpha = 90 - 55 = 35^\circ.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 35
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Çemberde Eşit Kirişler
- Eşit kirişler aynı uzunluklardadır ve bu kirişlerden yayılan yayların açıları birbirine eşittir.
- Üçgenin İç Açıları Toplamı
- Üçgen iç açıları toplamı 180°'dir, bu temel kural birçok açı hesabında kullanılır.
Sık Yapılan Hatalar:
Eşit Kirişleri Dikkate Almamak
- Kirişlerin eşitliği gözden kaçırılırsa açı hesaplamaları yanlış yapılır.
Verilen Açıyı Yanlış Yorumlamak
- 55° açısı yanlış yerde kullanılırsa sonuç farklı olur.
Başka bir örnek ister misin veya farklı bir açı problemi çözmemi ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme!