Soru 3. Faizle ilgili aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a. Yıllık faiz oranı %4 olan bir hesaba 12.000 TL yatırılmaktadır. 15 yıl sonraki tutar nedir?
b. Faiz oranı yıllık %6 ise, bugün 50.000 TL’ye sahip olmak için 5 yıl önce ne kadar para yatırılmış olması gerekmektedir?
İçindekiler
- Faiz Kavramı ve Türleri
- Bileşik Faiz Formülü
- a) 15 Yıl Sonraki Tutarın Hesaplanması
- b) 5 Yıl Önce Yapılması Gereken Yatırımın Hesaplanması
- Örnek Tablosu
- Önemli Kavramlar ve Formüller
1. Faiz Kavramı ve Türleri
Faiz, bir sermayenin belirli bir süre boyunca borç verildiği veya yatırım yapıldığı için elde edilen ek kazançtır.
• Basit Faiz: Ana para üzerinden her dönemde sabit oranla hesaplanır, faizin faizi alınmaz.
• Bileşik (Kompoze) Faiz: Her dönemin sonunda elde edilen faizin ana paraya eklenmesiyle “faizin de faizi” hesaplanır. Uzun vadede genellikle daha yüksek getiri sağlar.
Bu sorularda bileşik faiz kullanacağız.
2. Bileşik Faiz Formülü
N dönemde birikmiş toplam tutar (gelecek değer) ve bugünkü yatırım tutarını (şimdiki değer) hesaplamak için kullanılır:
• Gelecek Değer (FV – Future Value)
FV = P \,(1 + r)^n
P: Başlangıçtaki ana para
r: Dönemlik faiz oranı (ondalık şeklinde)
n: Dönem sayısı (yıl)
• Şimdiki Değer (PV – Present Value)
PV = \dfrac{FV}{(1 + r)^n}
3. a) 15 Yıl Sonraki Tutarın Hesaplanması
Verilenler
- P = 12.000 TL
- r = %4 = 0,04
- n = 15 yıl
Adım 1: Formülü yerleştirme
FV = 12\,000 \times (1 + 0,04)^{15}
Adım 2: (1+0,04)^{15} değerini hesaplama
1,04¹⁵’in yaklaşık değeri hesap makinesiyle şöyle bulunur:
1,04⁵ ≈ 1,21665
1,04¹⁰ ≈ 1,21665² ≈ 1,48024
1,04¹⁵ = 1,04¹⁰ × 1,04⁵ ≈ 1,48024 × 1,21665 ≈ 1,8009
Adım 3: FV’yi bulma
FV \approx 12\,000 \times 1,8009 \approx 21\,610{,}8\;\text{TL}
Sonuç:
15 yılın sonunda hesaptaki tutar yaklaşık 21.611 TL’dir.
4. b) 5 Yıl Önce Yapılması Gereken Yatırımın Hesaplanması
Verilenler
- FV (bugünkü değer) = 50.000 TL
- r = %6 = 0,06
- n = 5 yıl
Adım 1: PV formülü
PV = \dfrac{50\,000}{(1 + 0,06)^5}
Adım 2: (1+0,06)^5 hesaplama
1,06⁵ ≈ 1,33823
Adım 3: PV’yi bulma
PV \approx \dfrac{50\,000}{1,33823} \approx 37\,379{,}3\;\text{TL}
Sonuç:
5 yıl önce yaklaşık 37.379 TL yatırılmış olmalıdır ki bugün bileşik faizle 50.000 TL’ye ulaşsın.
5. Örnek Tablosu
| Hesap | Formül | Sayısal Değer | Yaklaşık Sonuç |
|---|---|---|---|
| a) Gelecek Değer | 12\,000\,(1+0,04)^{15} | (1,04)^{15}\approx1,8009 | 21 610,8 TL |
| b) Şimdiki Değer | 50\,000/(1+0,06)^5 | (1,06)^5\approx1,3382 | 37 379,3 TL |
6. Önemli Kavramlar ve Formüller
• Bileşik Faiz: Faizin de ana paraya eklenerek yeniden değerlendirilmesi.
• Gelecek Değer (FV): Yatırımın n dönem sonunda ulaşacağı toplam tutar.
FV = P\,(1 + r)^n
• Şimdiki Değer (PV): Belirli bir gelecekteki tutarı elde etmek için bugün yatırılması gereken miktar.
PV = \dfrac{FV}{(1 + r)^n}
Özet:
a) 12.000 TL, yıllık %4 bileşik faizle 15 yıl sonra yaklaşık 21.611 TL olur.
b) Bugün 50.000 TL’ye ulaşmak için 5 yıl önce yıllık %6 faizle yatırılması gereken tutar yaklaşık 37.379 TL’dir.