Mamsmssmmmm

YKS TYT
1

image
image720×960 41.8 KB

2

Türkiye’de Gönderilen Toplam Yardım Çantası Problemi

Önemli Noktalar

  • 81 ilin her birine 26 adet yardım kamyonu gidiyor.
  • Her kamyonda 2^3 = 8 adet yardım kolisi bulunuyor.
  • Her kolide 5^2 = 25 adet yardım çantası var.
  • Toplam yardım çantası sayısı; il sayısı, kamyon sayısı, koli sayısı ve çanta sayısının çarpımı ile bulunur.
  • Sonuç, verilen faktöriyel ifadelerinden biri ile eşleştirilebilir.

Türkiye’de gönderilen toplam yardım çantası sayısı şu şekilde hesaplanır:

\text{Toplam çanta} = \underbrace{81}_{il} \times \underbrace{26}_{kamyon} \times \underbrace{2^3}_{koli \, sayısı \, kamyonda} \times \underbrace{5^2}_{çanta \, sayısı \, kolide}

Hesaplayalım:
2^3 = 8, 5^2 = 25

81 \times 26 \times 8 \times 25

Öncelikle çarpalım:
8 \times 25 = 200
81 \times 26 = 2106

Toplam:

2106 \times 200 = 421200

Şimdi sorudaki verilen şıklarda bu sayıya karşılık gelen ifadeyi bulmamız gerekiyor.

Verilen şıklar factorial (faktoriyel) ifadeleri:

  • A) \frac{27!}{23!}
  • B) \frac{28!}{24!}
  • C) \frac{27!}{24!}
  • D) \frac{28!}{23!}
  • E) \frac{27!}{25!}

Bir faktöriyel bölümü şu şekilde sadeleşir:

\frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)

Örneğin:

\frac{27!}{23!} = 27 \times 26 \times 25 \times 24

İşte bunu hesaplayalım:

27 \times 26 = 702 \\ 25 \times 24 = 600 \\ 702 \times 600 = 421200

Tam da bizim bulduğumuz sayıya eşit!

Sonuç:

Toplam gönderilen yardım çantası sayısı \frac{27!}{23!} ifadesi ile gösterilebilir.

Doğru cevap A şıkkıdır.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi ve Hesaplama
  2. Faktöriyel İfadelerin Anlamı
  3. Karşılaştırma Tablosu: Faktöriyel İfadeler ve Değerleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Analizi ve Hesaplama

Toplam gönderilen yardım çantası miktarını hesaplamak için tüm değişkenler çarpılır:

  • İl sayısı: 81
  • Kamyon sayısı (her ile): 26
  • Yardım kolisi sayısı (her kamyonda): 2^3 = 8
  • Yardım çantası sayısı (her kolide): 5^2 = 25

Toplam yardım çantası sayısı:

81 \times 26 \times 8 \times 25 = 421200

:light_bulb: Pro Tip: Büyük sayıları faktöriyel ifadeler kullanarak kolayca ifade edebilirsiniz, özellikle ardışık çarpımlar olduğunda.

Faktöriyel İfadelerin Anlamı

Faktöriyel ifadeler, arka arkaya çarpmanın pratik bir sembolüdür. Genel olarak:

\frac{n!}{(n-k)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)

Bu durumda:

\frac{27!}{23!} = 27 \times 26 \times 25 \times 24

Bu ürünümüz tam olarak toplam yardım çantası sayısına eşit: 421200.

Karşılaştırma Tablosu: Faktöriyel İfadeler ve Değerleri

Şık İfade Çarpanlar Değer
A \frac{27!}{23!} 27 × 26 × 25 × 24 421200
B \frac{28!}{24!} 28 × 27 × 26 × 25 × 24 / 24! (fazla) Çok büyük
C \frac{27!}{24!} 27 × 26 × 25 17550
D \frac{28!}{23!} 28 × 27 × 26 × 25 × 24 Çok büyük
E \frac{27!}{25!} 27 × 26 702

Özet Tablo

Adım Değer
İl Sayısı 81
Kamyon Sayısı 26
Koli Sayısı (kamyonda) 2^3 = 8
Çanta Sayısı (kolide) 5^2 = 25
Toplam Çanta 81 \times 26 \times 8 \times 25 = 421200
Faktöriyel İfade \frac{27!}{23!} = 421200

Sık Sorulan Sorular

1. Neden faktöriyel ifadeler kullanılır?
Faktöriyel ifadeler, ardışık sayıların çarpımını kısa ve pratik biçimde gösterir. Bu, hesaplama kolaylığı sağlar ve matematiksel ifadeleri sadeleştirir.

2. Faktöriyel ifadenin doğru sonuç verdiğinden nasıl emin olunur?
Faktöriyel ifadenin açılımı yapılarak ardışık sayılar çarpılır ve bulunan sonuç ile problemin sonucu karşılaştırılır.

3. Farklı faktöriyel ifadeler neden farklı sonuçlar verir?
Faktöriyel ifadeler çarpılan sayıların sayısına göre değişir. Daha fazla sayı çarpılırsa sonuç büyür.

4. Yardım paketlerindeki sayıların kuvvet olarak verilmesinin anlamı nedir?
Üsler, tekrar eden çarpımları gösterir. Örneğin 2^3 = 2 \times 2 \times 2.

Sonraki Adımlar

Bu tür kombinasyon ve faktöriyel problemlerini daha iyi anlamak için:

  • Faktöriyel ifadelerle farklı örnekler çözebiliriz
  • Kombinasyon ve permütasyon konularını detaylı inceleyebiliriz
  • Üslü sayılar ve çarpma kurallarını pekiştirmek ister misiniz?

Size nasıl yardımcı olabilirim?
@Aysegul_Huzmeli

3

Soru: Türkiye’deki 81 ilin her birine 26’şar tane yardım kamyonu gönderiliyor. Bu kamyonların içerisinde 2^3 tane yardım kolisi ve her kolinin içerisinde ise 5^2 adet yardım çantası bulunmaktadır. Buna göre gönderilen toplam yardım çantası aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?

Temel Çıkarımlar

  • Toplam kamyon sayısı: 81\times26=2106
  • Her kamyondaki yardım çantası sayısı: 2^3\times5^2=200
  • Gönderilen toplam yardım çantası: 2106\times200=421200=\dfrac{27!}{23!}

Doğru cevap: \displaystyle \frac{27!}{23!}

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Türkiye’de 81 ile gönderilen toplam kamyon sayısı
    81\times26=2106.
  2. Her kamyonda bulunan kolilerin sayısı ve içlerindeki çantalar
    2^3=8\text{ koli},\quad 5^2=25\text{ çanta/koli}
  3. Bir kamyondaki toplam çanta sayısı
    8\times25=200.
  4. Gönderilen toplam çanta sayısı
    2106\times200=421200.
  5. Faktöriyel ile ifade
    421200=27\times26\times25\times24=\frac{27!}{23!}.

Karşılaştırma Tablosu

Expression Değer
\dfrac{27!}{23!} 27\cdot26\cdot25\cdot24=421200
\dfrac{28!}{24!} 28\cdot27\cdot26\cdot25=491400

Özet Tablosu

Parametre Değer
İller (n) 81
Kamyon/il 26
Koliler/kamyon 2^3=8
Çantalar/koli 5^2=25
Toplam çanta 421200=\dfrac{27!}{23!}

SSS

  1. Faktöriyel ifadeler nasıl sadeleştirilir?
    n!/(n-k)! ifadesinde üstteki faktöriyelden alttaki faktöriyeli bölerek aradaki çarpanlar kalır.
  2. Bu yöntemi benzer sorularda nasıl kullanırım?
    Toplam eleman sayısını doğrudan çarpım yerine uygun faktöriyel farkıyla yazabilirsiniz.
  3. n!/(n-k)! ifadesinin anlamı nedir?
    n öğeden ardışık k öğe seçip çarpma işlemine eşdeğerdir.
  4. Doğrudan çarpım mı yoksa faktöriyel form mu avantajlıdır?
    Faktöriyel form, özellikle büyük sayılarda kısa ve okunaklı yazım sağlar.

Bu tür sorulardan daha fazla pratik örnek çözmek ister misiniz?
@Aysegul_Huzmeli