@Sorumatik_Ogretmen 8.sınıf
8. Sınıf Matematik: Madeni Paralar Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- Madeni paraların her birinin ağırlıkları birbirine eşit ve 6 gramdan fazla
- Tüm madeni paraların toplam ağırlığı 198 gram
- Bir kısmı alındığında kalan madeni paraların toplam ağırlığı 144 gram
- Soruda, alınan madeni paraların en fazla toplam değerinin kaç TL olduğu isteniyor
Toplam madeni paraların ağırlığı 198 gram ve her bir madeni paranın ağırlığı birbirine eşit ve en az 7 gramdır (6 gramdan fazla).
Madeni paralardan bir kısmı alınıp tartıldığında 144 gram ağırlık kalıyorsa, alınan madeni paraların toplam ağırlığı:
198 g - 144 g = 54 gram
Paraların ağırlıkları eşit olduğundan, alınan madeni paraların sayısı:
54 gram ÷ (her paranın ağırlığı)
Öncelikle madeni paraların adet sayısını bulalım.
İçindekiler
1. Paraların Sayısını Belirleme
Toplam madeni paraların sayısını ( n ) ve her bir paranın ağırlığını ( w ) gram olarak alalım.
Verilen:
- ( n \times w = 198 ) gram,
- ( w > 6 ) gram,
- Tüm madeni paralar eşit ağırlıkta.
( w ) tam sayı olmalı. 198 sayısının bölenleri arasında 6’dan büyük olanları kontrol edelim:
- ( w = 7 ), ( n = 198/7 = 28.28 ) (tam sayı değil)
- ( w = 9 ), ( n = 198/9 = 22 ) (tam sayı)
- ( w = 11 ), ( n = 198/11 = 18 ) (tam sayı)
- ( w = 18 ), ( n = 198/18 = 11 ) (tam sayı)
Eşit ve 6 gramdan büyük olmasının sağladığı en uygun değerlerden biri ( w=9 ) gram ve ( n=22 ) adet.
Kontrolleri yapalım:
- Eğer ( w=9 ) gram ise, bu değer tamamen uygundur (hem 6 gramdan büyük hem tam sayı).
- Diğer değerlerle problemin çözümü çok daha karmaşık olur ve muhtemelen verilen seçeneklere uymaz.
2. Alınan Madeni Paraların Adedi ve Değeri
Alınan madeni paraların toplam ağırlığı:
198 - 144 = 54 gram
Her biri 9 gram olduğundan:
( \text{alınan madeni para sayısı} = \frac{54}{9} = 6 )
Her madeni para 1 TL olduğuna göre, alınan madeni paraların toplam değeri:
6 adet × 1 TL = 6 Türk Lirası
Sorunun Cevabı
Sonradan alınan madeni paraların toplam değeri en fazla 6 Türk Lirası’dır.
Doğru cevap: B) 6
Sonraki Adımlar
Madeni paralarla ilgili benzer problem çözümleri ister misiniz? Yoksa cebirsel denklemlerle problem kurma ve çözme yöntemlerini açıklamamı mı tercih edersiniz?
Madeni paraların ağırlığı ve çıkarılanların toplam değeri sorusu
- w>6 gram ve eşit ağırlıkta 1 TL madeni paralar
- Başlangıçta 198 g, kalan 144 g → çıkarılan 54 g
- w\mid198 ve w\mid54 → w\in\{9,18\} → maksimum çıkarılan 6 parça → 6 TL
Maksimum çıkarılan madeni paraların toplam değeri 6 TL’dir.
İçindekiler
1. Derinlemesine Çözüm
Madeni paranın birim ağırlığını w gram kabul edelim.
- Toplam adet:
N=\frac{198}{w}
- Kalan adet:
M=\frac{144}{w}
- Çıkarılan adet:
N-M=\frac{198-144}{w}=\frac{54}{w}
Çıkarılan adetin tam sayı olması için w\mid54 ve aynı zamanda w\mid198 olmalı.
\gcd(198,54)=18\quad\Rightarrow\quad w\in\{1,2,3,6,9,18\}
Ancak w>6 şartından dolayı w=9 veya w=18 alınabilir:
- $w=9,$g → çıkarılan 54/9=6 adet → 6 TL
- $w=18,$g → çıkarılan 54/18=3 adet → 3 TL
En büyük toplam değer 6 TL olur.
2. Karşılaştırma Tablosu
| w (g/coin) | Toplam Adet N | Kalan Adet M | Çıkarılan Adet | Çıkarılan Değer (TL) |
|---|---|---|---|---|
| 9 | 22 | 16 | 6 | 6 |
| 18 | 11 | 8 | 3 | 3 |
3. Özet Tablosu
| Ağırlık w (g) | Çıkarılan Parça Sayısı | Toplam Değer (TL) |
|---|---|---|
| 9 | 6 | 6 |
4. SSS
S1: Parça ağırlığı neden tam sayı kabul edildi?
C: Problemler genelde tam bölünebilme koşuluyla çalışır; pratik çözümler için en uygun varsayımdır.
S2: w=7 veya 8 değerleri neden eleniyor?
C: 198/7 ve 198/8 tam bölünmez, bu nedenle toplam adet tam sayı çıkmaz.
S3: Eğer w>18 koşulu da olsaydı ne olurdu?
C: 18’den büyük bölenler (33, 66, 99, 198) 54’ü bölse bile 144/w<1 yapar, kalan sayı en az bir olma şartını ihlal eder.
Bu problemdeki gibi bölünebilme ve en büyük değer soruları üzerinde 3 adet alıştırma örneği ister misiniz?
@Emir_Yusuf_Alkan