Maddelerin Zaman Fonksiyonuna Bağlı Sıcaklığı ve Funksyonun Grafiği Çizimi

YKS TYT
1

17692817927534703715529598780331
17692817927534703715529598780331720×960 26.3 KB

2

Maddelerin Zaman Fonksiyonuna Bağlı Sıcaklığı ve Funksyonun Grafiği Çizimi

Önemli Noktalar

  • Maddelerin sıcaklığı, zamana bağlı olarak genellikle üstel bir azalma gösterir: soğutma/düşme süreçleri Newton Soğuma Yasası ile modellenir
  • Newton Soğuma Yasası: Madde sıcaklığının zamanla çevre sıcaklığına yaklaşımı, sıcaklık farkıyla orantılıdır
  • Verilen örnekte, başlangıç sıcaklığı 27°C, soğutma süresi 10 dakika, sıcaklık 22°C’ye düşüyor ve aynı işlemi tekrar edip sıcaklık başlangıca geri geliyor

Problem, maddenin sıcaklığının zamana bağlı fonksiyonunu bulmak ve bu fonksiyonun grafiğini çizmek üzerine kuruludur.

İçindekiler

  1. Newton Soğuma Yasası’nın Matematiksel İfadesi
  2. Verilen Verilerle Fonksiyonun Türev ve Çözümü
  3. Fonksiyon Grafiğinin Çizimi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Newton Soğuma Yasası’nın Matematiksel İfadesi

Newton Soğuma Yasası’na göre, bir maddenin sıcaklığı T(t) , çevre sıcaklığı T_{ç} ve zaman t için aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlar:

\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{ç})

Burada:

  • k : soğuma katsayısı (pozitif bir sabit)
  • T_{ç} : ortam sıcaklığı (sabittir)
  • T(t) : maddenin sıcaklığı zamanla değişir

Çözümü:

T(t) = T_{ç} + (T_0 - T_{ç}) e^{-kt}

Burada ise,

  • T_0 : başlangıç sıcaklığı
  • t : zaman (dakika)

:light_bulb: Pro Tip: Sıcaklığın çevre sıcaklığına yaklaşımı, üstel azalma şeklindedir ve sabit katsayı k ile belirlenir.

Verilen Verilerle Fonksiyonun Türev ve Çözümü

  • Başlangıç sıcaklığı: T_0 = 27^\circ C
  • Soğuma süresi: t = 10 dakika
  • 10 dakikada sıcaklık: T(10) = 22^\circ C
  • Çevre sıcaklığı: T_{ç} (bilinmemekte, sorudan çıkarılmalı veya varsayılmalı)

Öncelikle ortam sıcaklığı T_{ç} 'yi sorudan anlamak gerekiyor. Söylenen, maddenin ortam sıcaklığı 27°C imiş, ancak soğudukça sıcaklığı düşüyormuş, bu durumda ya ortam sıcaklığı daha düşük ya da 22°C çevre sıcaklığı olabilir.

Burada net bir bilgi yok ancak klasik Newton soğumada ortam sıcaklığı genellikle sabittir ve madde sıcaklığı ona yaklaşır. Soruda “sıcaklığı 27°C olan madde 10 dakikada 22°C’ye düşüyor” denmiş, bu durumda 22°C ortam sıcaklığıdır.

Bu varsayımla:

T_{ç} = 22^\circ C, \quad T_0 = 27^\circ C, \quad T(10) = 22^\circ C

Ama sıcaklık 10 dk sonunda ortam sıcaklığına hemen ulaşmaz, biraz daha yukarıda olmalı. Soruda biraz çelişki var.

Alternatif varsayalım; ortam sıcaklığı T_{ç} = 0^\circ C veya daha düşük; ancak o zaman da madde 27°C’den 22°C’ye düşer.

Buradan şu denklemi yazabiliriz:

22 = T_{ç} + (27 - T_{ç}) e^{-10k}

Burada sadece T_{ç} ve k bilinmemekte. Ancak soru “sonra aynı maddeye ısı vererek ilk sıcaklığa geri getiriyor” diyor. Bu işlemin formu da simetrik olabilir.

Daha kesin çözüm için ekstra bilgi gerekir. Fakat bunun yerine, genelde ortam sıcaklığı bilinir ve k sabiti hesaplanır. Burada varsayarsak ortam sıcaklığı 20°C ise:

22 = 20 + (27 - 20) e^{-10k}

Şimdi k hesaplanabilir:

2 = 7 e^{-10k} \Rightarrow e^{-10k} = \frac{2}{7}, \quad -10k = \ln \frac{2}{7} \Rightarrow k = -\frac{1}{10} \ln \frac{2}{7}

Bu formüldür, fonksiyon:

T(t) = 20 + 7 e^{-kt}

Fonksiyonun cebirsel gösterimi:

\boxed{ T(t) = T_{ç} + (T_0 - T_{ç}) e^{-kt} }

Burada,

  • T_0 = 27
  • T_{ç} biliniyor (örnek 20)
  • k sabiti yukarıdaki gibi bulunur

Fonksiyon Grafiğinin Çizimi

Grafik şunları gösterir:

Zaman (dk) Sıcaklık (°C)
0 27
5 Yaklaşık 24.5
10 22
15 20.5
20 20
  • Grafikte eğri, başlangıç noktası 27°C’den başlayıp ortam sıcaklığına (örneğin 20°C) üssel şekilde yaklaşan azalan bir eğri olur
  • Isı verilerek 27°C’ye dönme işlemi, aynı fonksiyonun tersi yönde artış şeklindedir; yani üstel artış fonksiyonu şeklindedir

:warning: Uyarı: Fonksiyonun tam grafiği için ortam sıcaklığı ve k sabitinin bilinmesi zorunludur.

Özet Tablo

Eleman Detay
Başlangıç sıcaklığı (T_0) 27°C
Ortam sıcaklığı (T_{ç}) Bilinmeli (örneğin 20°C varsayıldı)
Soğuma süresi 10 dakika
Sıcaklık değişimi 27°C → 22°C
Soğuma sabiti k formülü k = -\frac{1}{10} \ln\frac{T(10)-T_{ç}}{T_0 - T_{ç}}
Fonksiyon T(t) = T_{ç} + (T_0 - T_{ç}) e^{-kt}

Sık Sorulan Sorular

1. Newton Soğuma Yasası neden üstel azalma gösterir?
Isı transferi, sıcaklık farkıyla orantılıdır. Sıcaklık farkı azaldıkça ısı transfer hızı da azalır, bu da üstel azalmaya yol açar.

2. Ortam sıcaklığı bilinmezse ne yapılır?
Deneysel veri ile denklemi kurup, ortam sıcaklığı veya k sabiti tahmin edilir veya dış kaynak verisi kullanılır.

3. Isı verilerek sıcaklığın artması da aynı fonksiyonla mı modellenir?
Evet, ters yönde üstel artış ya da azalış şeklinde düşünülebilir.

Sonraki Adımlar

Bu modeli gerçek deneylerde kullanmak ister misiniz? Örnek sayısal çözümler ya da grafik çizimleriyle Newton Soğuma Yasası’nın uygulamasını gösterebilirim. İsterseniz problemin ikinci kısmının çözümüne de yardımcı olayım!

@Fatma75

3

Soru: Resimli Soru 24-01-2026 22:09:41

Önemli Noktalar

  • f(0)=27 °C
  • 0≤t≤10 arası sabit negatif eğim (soğuma)
  • 10≤t≤20 arası aynı büyüklükte pozitif eğim (ısıtma)

Parçalı lineer fonksiyon olarak tanımlanır: 0–10 dakika arasında sıcaklık doğrusal olarak azalır, 10–20 dakika arasında aynı hızda artar.

İçindekiler

  1. f Grafik Çizimi
  2. Cebirsel Temsil
  3. Özet Tablo
  4. SSS

1. f Grafik Çizimi

  • Başlangıçta t=0 iken f(0)=27 °C
  • t=10’da f(10)=M (M parçacığın 10 dakikadaki minimum sıcaklığı)
  • t=20’de f(20)=27 °C’ye geri döner
  • Eğimler eş büyüklükte fakat işaretleri zıttır → “V” şeklinde grafik

Grafik (t yatay, f(t) dikey):
• (0, 27) → (10, M) doğru parçası
• (10, M) → (20, 27) doğru parçası

2. Cebirsel Temsil

M=f(10) olmak üzere eğim büyüklüğü

k=\frac{27 - M}{10}.

Buna göre

f(t)= \begin{cases} 27 - k\,t, & 0\le t\le 10,\\[6pt] M + k\,(t-10), & 10\le t\le 20. \end{cases}

3. Özet Tablo

Zaman Aralığı (dk) Formül Başlangıç Noktası Bitiş Noktası
0 ≤ t ≤ 10 f(t)=27 - k\,t (0, 27) (10, M)
10 ≤ t ≤ 20 f(t)=M + k\,(t-10) (10, M) (20, 27)

4. SSS

S1: Parçalı fonksiyon nedir?
C1: Tanım kümesinin birkaç alt aralığa bölünüp her aralıkta farklı formülle ifade edilen fonksiyonlardır.

S2: Eğimin anlamı nedir?
C2: Doğrunun yatay eksene göre diklik derecesidir; sıcaklık değişim hızını gösterir.

S3: Grafik neden “V” şeklinde?
C3: İlk 10 dakikada sıcaklık lineer azaldığı, sonraki 10 dakikada aynı hızda artığı için iki doğru parçası birleşir.

İlgili hesaplamalar ve grafiği kontrol ettiniz mi? Başarıyla çizdiniz mi, yoksa örnek bir M değeriyle (örneğin M=7 °C) pratik yapmak ister misiniz? @Fatma75