[BA] \perp [AC], m(widehat{GDC}) = 2m(widehat{ACB}) = 2\alpha , |GD| = 2 cm
G, ABC dik üçgenin ağırlık merkezi olduğuna göre |BC| kaç cm’dir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
Dik Üçgende Ağırlık Merkezi ve Muhteşem Üçlü Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü: |AM| = |BM| = |MC|). Ayrıca üçgenin ağırlık merkezi (G), kenarortayı köşeden kenara doğru 2:1 oranında böler (|AG| = 2|GM|).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kenarortayı Çizme ve Muhteşem Üçlü Eşitliği
A köşesinden ağırlık merkezi G’den geçecek şekilde [BC] kenarına kenarortay doğrusunu çizelim ve kenarı kestiği noktaya M diyelim. [AM], [BC] kenarına ait kenarortay olduğundan:
|AM| = |BM| = |MC| = \frac{|BC|}{2}
Adım 2 — Açı Takibi ve Dış Açı Özelliği
|AM| = |MC| olduğundan AMC bir ikizkenar üçgendir. Dolayısıyla:
m(\widehat{MAC}) = m(\widehat{MCA}) = \alpha
AMC üçgeninde M köşesindeki dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir:
m(\widehat{AMB}) = m(\widehat{MAC}) + m(\widehat{MCA}) = \alpha + \alpha = 2\alpha
Adım 3 — GDM İkizkenar Üçgeni ve |GM| Uzunluğu
D noktası [BM] üzerinde yer aldığından m(\widehat{GMD}) = m(\widehat{AMB}) = 2\alpha’dır.
Soruda m(\widehat{GDC}) = m(\widehat{GDM}) = 2\alpha olarak verilmiştir.
GDM üçgeninde taban açıları birbirine eşit (2\alpha) olduğundan bu üçgen bir ikizkenar üçgendir:
|GM| = |GD| = 2\text{ cm}
Adım 4 — Kenarortay ve Hipotenüs Uzunluğunun Hesabı
G noktası ağırlık merkezi olduğundan kenarortayı 2:1 oranında böler:
|AG| = 2 \cdot |GM| = 2 \cdot 2 = 4\text{ cm}
|AM| = |AG| + |GM| = 4 + 2 = 6\text{ cm}
Muhteşem üçlü gereği hipotenüs uzunluğu kenarortayın iki katıdır:
|BC| = 2 \cdot |AM| = 2 \cdot 6 = 12\text{ cm}
CEVAP: D) 12 (|BC| = 12\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Ağırlık merkezi (G) ve dik açı gördüğünde hipotenüse ait kenarortayı mutlaka çizmelisin. Muhteşem üçlünün oluşturduğu ikizkenarlıktan gelen 2\alpha dış açısı, soruda verilen 2\alpha ile birleşerek gizli bir ikizkenar üçgen (|GD| = |GM|) açığa çıkarır.