10s
m(BAC) = 30, m(ACB)= 105, lADI =IDCI
Yukarıda verilenlere göre m(DBC)=it
kaç derecedir?
m(\widehat{BAC}) = 30^\circ, m(\widehat{ACB}) = 105^\circ ve |AD| = |DC| ise m(\widehat{DBC}) = \alpha Kaç Derecedir?
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
- Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$’dir.
- Sinüs Teoremi: Bir üçgende \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} bağıntısı vardır.
- Trigonometrik Özdeşlik: \sin(105^\circ) = \cos(15^\circ) ve \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = 1/2.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — ABC Üçgeninin Açılarını Belirleme
ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180^\circ olduğundan:
m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - (30^\circ + 105^\circ) = 45^\circ bulunur.
İstenen açı m(\widehat{DBC}) = \alpha olduğuna göre, m(\widehat{ABD}) = 45^\circ - \alpha olur.
Adım 2 — Sinüs Teoremini Uygulama (ABD ve DBC Üçgenleri)
|AD| = |DC| = k diyelim. [BD] kenarı her iki üçgen için ortaktır, bu kenara y diyelim.
-
ABD Üçgeninde Sinüs Teoremi:
\frac{k}{\sin(45^\circ - \alpha)} = \frac{y}{\sin(30^\circ)} => y = \frac{k \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ - \alpha)} -
DBC Üçgeninde Sinüs Teoremi:
\frac{k}{\sin(\alpha)} = \frac{y}{\sin(105^\circ)} => y = \frac{k \cdot \sin(105^\circ)}{\sin(\alpha)}
Adım 3 — Denklemleri Eşitleme ve Çözüm
İki y değerini birbirine eşitleyelim:
\frac{k \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ - \alpha)} = \frac{k \cdot \sin(105^\circ)}{\sin(\alpha)}
\frac{1/2}{\sin(45^\circ - \alpha)} = \frac{\cos(15^\circ)}{\sin(\alpha)}
\sin(\alpha) = 2 \cdot \cos(15^\circ) \cdot \sin(45^\circ - \alpha)
Burada \sin(45^\circ - \alpha) açılımını yapıp denklemi düzenlediğimizde:
\sin(\alpha) = 2 \cdot \cos(15^\circ) \cdot (\sin 45^\circ \cos \alpha - \cos 45^\circ \sin \alpha)
\sin(\alpha) = 2 \cdot \cos(15^\circ) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha - \sin \alpha)
\sin(\alpha) = \sqrt{2} \cos(15^\circ) (\cos \alpha - \sin \alpha)
Bu trigonometrik denklem çözüldüğünde \alpha = 30^\circ değeri eşitliği sağlar.
(Kontrol: \alpha = 30^\circ ise \sin(30^\circ) = 1/2. Sağ taraf: 2 \cdot \cos(15^\circ) \cdot \sin(15^\circ) = \sin(30^\circ) = 1/2. Eşitlik sağlanır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] \alpha = 30^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Sinüs Teoremi
- [Tanım:] Kenar uzunlukları ile bu kenarları gören açıların sinüsleri arasındaki orantıdır.
- [Bu problemde:] Ortak olan [BD] kenarı ve eşit olan |AD|, |DC| parçaları arasında ilişki kurmak için kullanıldı.
2. Trigonometrik Özdeşlikler
- [Tanım:] Birbirini $90^\circ$’ye tamamlayan açıların sinüs ve kosinüs değerleri eşittir.
- [Bu problemde:] \sin(105^\circ) = \cos(15^\circ) dönüşümü yapılarak çözüm kolaylaştırıldı.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Yanlış Açı Tahmini
- [Yanlış:] Şekle bakarak [BD]'nin açıortay olduğunu varsaymak (22.5^\circ).
- [Doğru:] Geometride şekiller yanıltıcı olabilir, mutlaka teoremlerle ispatlanmalıdır.
- [Neden yanlış:] Verilen kenar eşitliği (|AD|=|DC|) her zaman açıortay oluşturmaz.
Bu çözümde kullandığımız yöntemle ilgili sormak istediğin bir detay var mı? Benzer bir geometri sorusu daha çözmemi ister misin?
@sorumatik_uzman_bot son kısımda neden cevap 30 oldu onu anlamadım
m(\widehat{BAC}) = 30^\circ, m(\widehat{ACB}) = 105^\circ ve |AD| = |DC| Geometri Sorusu Çözüm Detayı
Önceki çözümde \alpha = 30^\circ sonucuna nasıl ulaştığımızı, trigonometrik denklemi sadeleştirerek daha açık bir şekilde inceleyelim.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Denklem Kurulumu
Sinüs teoremi ile elde ettiğimiz son eşitlik şuydu:
\frac{\sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ - \alpha)} = \frac{\sin(105^\circ)}{\sin(\alpha)}
Adım 2 — Trigonometrik Dönüşümler
- \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
- \sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin(75^\circ)
- \sin(75^\circ) aynı zamanda \cos(15^\circ) değerine eşittir.
Bu değerleri yerine koyduğumuzda:
\frac{1}{2 \cdot \sin(45^\circ - \alpha)} = \frac{\cos(15^\circ)}{\sin(\alpha)}
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\sin(\alpha) = 2 \cdot \cos(15^\circ) \cdot \sin(45^\circ - \alpha)
Adım 3 — Yarım Açı ve Toplam-Fark İlişkisi
Bu aşamada denklemi çözmek için \alpha = 30^\circ değerini test edelim (denklemi sağlaması gerekir):
- Sol taraf: \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
- Sağ taraf: 2 \cdot \cos(15^\circ) \cdot \sin(45^\circ - 30^\circ)= 2 \cdot \cos(15^\circ) \cdot \sin(15^\circ)
Trigonometrideki Yarım Açı Formülü hatırlayalım: \sin(2x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)
Bu kuralı sağ tarafa uygularsak (x = 15^\circ için):
2 \cdot \sin(15^\circ) \cdot \cos(15^\circ) = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
Sol taraf (\frac{1}{2}) ile Sağ taraf (\frac{1}{2}) birbirine eşitlendiği için \alpha = 30^\circ kesin cevaptır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] \alpha = 30^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Yarım Açı Formülleri
- [Tanım:] \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
- [Bu problemde:] 2\sin(15^\circ)\cos(15^\circ) ifadesini \sin(30^\circ)'ye dönüştürmek için kullanıldı.
2. Sinüs Açı Kaydırma
- [Tanım:] \sin(180^\circ - x) = \sin(x)
- [Bu problemde:] \sin(105^\circ) = \sin(75^\circ) eşitliğini kurmamızı sağladı.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Karmaşık Açılımlar
- [Yanlış:] \sin(45^\circ - \alpha) ifadesini \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) olarak açıp köklü sayılarla boğuşmak.
- [Doğru:] İfadeyi toplam-fark formunda bırakıp yarım açı gelip gelmediğini kontrol etmek her zaman daha hızlıdır.
Trigonometrik yarım açı formülünün burada nasıl bir “kilit” rol oynadığını fark edebildin mi? Başka bir adımda takıldığın bir yer var mı?