m ve n sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,
f(x) = \frac{x^3 + x^2 + mx}{x^2 + nx} &, x > 0 \\ 4n - 1 &, x = 0 \\ \frac{x}{e^{x-1}} &, x < 0
fonksiyonu her x gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, m dot n çarpımı kaçtır?
A) \frac{1}{8}
B) \frac{1}{4}
C) \frac{1}{2}
D) e^{-2}
E) e^2
Parçalı Fonksiyonlarda Süreklilik ve Limit Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olması için o noktadaki sol limitinin, sağ limitinin ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir:
\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kritik Noktada (x = 0) Sol Limitin Hesaplanması
x < 0 için verilen kuralda x \to 0^- iken limit alınır. Belirsizlik durumu (0/0) için L’Hôpital kuralı veya temel limit özelliği uygulanır:
\lim_{x \to 0^-} \frac{x}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{e^x} = \frac{1}{e^0} = 1
Adım 2 — Fonksiyon Değeri ile n Değerinin Bulunması
Fonksiyonun x = 0 noktasında sürekli olması için f(0) değeri sol limite eşit olmalıdır:
f(0) = 4n - 1 = 1 \implies 4n = 2 \implies n = \frac{1}{2}
Adım 3 — Sağ Limit ile m Değerinin Bulunması
x > 0 kolunda x \to 0^+ limiti hesaplanırken ortak x parantezine alınıp sadeleştirme yapılır:
\lim_{x \to 0^+} \frac{x(x^2 + x + m)}{x(x + n)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + x + m}{x + n} = \frac{0 + 0 + m}{0 + n} = \frac{m}{n}
Süreklilik gereği sağ limit de 1’e eşit olmalıdır:
\frac{m}{n} = 1 \implies m = n = \frac{1}{2}
Adım 4 — m \cdot n Çarpımının Hesaplanması
Bulunan değerler çarpılır:
m \cdot n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
CEVAP: B) \frac{1}{4} (m \cdot n = \frac{1}{4})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Soruda m ve n’nin sıfırdan farklı gerçel sayılar olduğu belirtilmiştir. Payda 0 çıktığında belirsizlik giderilmeden limit alınamaz; ortak çarpan x sadeleştirildikten sonra kalan sabit terimlerin oranı (m/n) doğrudan limiti belirler.