m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere
EBOB(m, n) + EKOK(m, n) = 221
100 < m + n < 221
olduğu biliniyor.
Buna göre m + n toplamı kaçtır?
A) 102
B) 113
C) 117
D) 119
E) 121
EBOB ve EKOK Özellikleri ile Sayı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Aralarında asal iki pozitif tam sayı a ve b olmak üzere; \text{EBOB}(m, n) = d ise sayılar m = d \cdot a ve n = d \cdot b şeklinde yazılır. Bu durumda \text{EKOK}(m, n) = d \cdot a \cdot b olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Bağıntıyı Ortak Çarpan Parantezine Alma
\text{EBOB}(m, n) = d dersek m = d \cdot a ve n = d \cdot b (burada \text{EBOB}(a, b) = 1) olur. İfadeleri yerine yazalım:
d + d \cdot a \cdot b = 221 \implies d(1 + a \cdot b) = 221
221 sayısının asal çarpanları 13 \times 17 olduğundan pozitif bölenleri 1, 13, 17 ve 221’dir.
Adım 2 — d Değerlerine Göre Durum Analizi
- d = 1 için: 1 + ab = 221 \implies ab = 220. Aralarında asal çarpanlar (1, 220), (4, 55), (5, 44), (11, 20) incelendiğinde; m + n = a + b toplamı 100 < m+n < 221 aralığında bir değer üretmez.
- d = 13 için: 1 + ab = 17 \implies ab = 16. \text{EBOB}(a, b) = 1 olduğundan tek çözüm \{a, b\} = \{1, 16\} olur. Buradan m + n = 13 \cdot (1 + 16) = 221 bulunur; ancak soru kökünde m + n < 221 istendiğinden bu durum elenir.
- d = 17 için: 1 + ab = 13 \implies ab = 12. Aralarında asal \{a, b\} ikilileri:
- \{1, 12\} \implies m + n = 17 \cdot (1 + 12) = 221 (aralığı sağlamaz).
- \{3, 4\} \implies m + n = 17 \cdot (3 + 4) = 17 \cdot 7 = 119.
Bulunan 119 değeri 100 < 119 < 221 eşitsizliğini tam olarak sağlar.
CEVAP: D) 119 (m + n = 119)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: a ve b çarpanlarının mutlaka aralarında asal (\text{EBOB}(a, b) = 1) seçilmesi gerektiği unutulmamalıdır; aksi hâlde d sayısı gerçek EBOB olamaz. Ayrıca sınır değerleri olan 100 ve 221’in eşitsizliğe dâhil olmadığına dikkat edilmelidir.