m ve n birer pozitif doğal sayı
3m + 4n = 95
olduğuna göre,
II. m + n toplamının alabileceği en küçük değer 25’tir.
III. 9 farklı (m, n) ikilisi vardır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) I, II ve III
Doğrusal Diophant Denklemlerinde Değişken ve Toplam Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: ax + by = c biçimindeki iki bilinmeyenli doğrusal denklemlerde bir (m, n) özel çözümü bulunduktan sonra, katsayılar aralarında asal olduğu için değişkenlerden biri diğerinin katsayısı kadar artarken diğeri de ötekinin katsayısı kadar azalır. m, n \in \mathbb{Z}^+ şartı sağlandığında tüm ikililer bu artış-azalış kuralıyla listelenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İlk Pozitif Doğal Sayı Çözümünü Bulma
Verilen 3m + 4n = 95 denkleminde n’ye en küçük pozitif doğal sayı değeri verilerek başlanır:
n = 2 \implies 3m + 4(2) = 95 \implies 3m = 87 \implies m = 29
Bu durumda ilk çözüm ikilisi (m, n) = (29, 2) olur.
Adım 2 — Tüm Pozitif (m, n) İkililerini Türetme
n değeri m’nin katsayısı olan 3 kadar artarken, m değeri n’nin katsayısı olan 4 kadar azalır:
- (m, n) = (29, 2) \implies m + n = 31
- (m, n) = (25, 5) \implies m + n = 30
- (m, n) = (21, 8) \implies m + n = 29
- (m, n) = (17, 11) \implies m + n = 28
- (m, n) = (13, 14) \implies m + n = 27
- (m, n) = (9, 17) \implies m + n = 26
- (m, n) = (5, 20) \implies m + n = 25
- (m, n) = (1, 23) \implies m + n = 24
m = 1’den 4 çıkarılırsa m = -3 negatif olacağından pozitif doğal sayı şartı sonlanır. Toplam 8 farklı (m, n) ikilisi vardır.
Adım 3 — Öncüllerin Değerlendirilmesi
- I. Öncül: m + n toplamının alabileceği en büyük değer 29 + 2 = 31’dir. (Doğru)
- II. Öncül: m + n toplamının alabileceği en küçük değer 1 + 23 = 24’tür; 25 değildir. (Yanlış)
- III. Öncül: Pozitif tam sayılarda 8 farklı (m, n) ikilisi bulunur, 9 farklı ikili yoktur. (Yanlış)
CEVAP: A) Yalnız I
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: m sayısının en küçük pozitif doğal sayı değeri olan m = 1 durumunu gözden kaçırmamak gerekir. m = 1 için n = 23 sağlandığından en küçük toplam 25 değil, 24 olur.