m ve n birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = mx^2 + nx + 6
polinomu verilmiştir.
P(4) + 2 dot P(1) = 14
olduğuna göre P(3) kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
P(x) = mx^2 + nx + 6 Polinomunda P(3) Değerinin Hesaplanması
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
Bir polinomda x yerine verilen değer yazılarak polinomun o noktadaki sayısal değeri bulunur:
P(a) = m \cdot a^2 + n \cdot a + 6
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — P(4) Değerini Bulma
Verilen polinomda x = 4 yazarak ifadeyi m ve n cinsinden belirleyelim:
P(4) = m(4)^2 + n(4) + 6 = 16m + 4n + 6
Adım 2 — P(1) Değerini Bulma
Polinomda x = 1 yazarak değeri bulalım:
P(1) = m(1)^2 + n(1) + 6 = m + n + 6
Adım 3 — Verilen Eşitliği Düzenleme
Soruda verilen P(4) + 2 \cdot P(1) = 14 eşitliğinde bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım:
(16m + 4n + 6) + 2(m + n + 6) = 14
Parantezi dağıtalım:
16m + 4n + 6 + 2m + 2n + 12 = 14
Benzer terimleri toplayalım:
18m + 6n + 18 = 14
18m + 6n = 14 - 18
18m + 6n = -4
Her iki tarafı 2 ile sadeleştirelim:
9m + 3n = -2
Adım 4 — P(3) Değerini Hesaplama
Bizden istenen P(3) değerini polinomda x = 3 yazarak yazalım:
P(3) = m(3)^2 + n(3) + 6 = 9m + 3n + 6
Adım 3’te elde ettiğimiz 9m + 3n = -2 eşitliğini yerine koyalım:
P(3) = (-2) + 6 = 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (4)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Polinom Değeri Hesaplama
- Tanım: Bir polinomun herhangi bir noktadaki değeri, o değişkene karşılık gelen sayının polinom kuralında yerine yazılmasıyla elde edilir.
- Bu problemde: m ve n katsayılarını tek tek bulmaya gerek kalmadan, 9m + 3n ifadesinin ortak çarpan parantezine alınmasıyla doğrudan sonuca ulaşıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
m ve n Değerlerini Ayrı Ayrı Bulmaya Çalışmak
- Yanlış: Tek bir denklem varken iki bilinmeyeni (m ve n) ayrı ayrı çözmeye çalışıp denklemleri sıfıra eşitlemek.
- Doğru: İstenen P(3) ifadesinin (9m + 3n + 6) verilen denklemle (18m + 6n = -4) arasındaki katsayı ilişkisini (2 katı) görmek.
- Neden yanlış: Tek denklemden iki bağımsız değişkenin değerleri ayrı ayrı bulunamaz; yalnızca aralarındaki doğrusal kombinasyon elde edilebilir.
Polinomlarda katsayılar toplamı ve sabit terim ilişkileriyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?