m ve n birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x^2 - mx + n = 0
denkleminin diskriminantı m - n
x^2 - nx + m = 0
denkleminin diskriminantı n - m olduğuna göre
m + n toplamı kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
İkinci Dereceden Denklemlerde Diskriminant Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: ax^2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin diskriminantı \Delta = b^2 - 4ac formülü ile hesaplanır. İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde taraf tarafa çıkarma ve iki kare farkı özdeşliği (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) kullanılarak sonuca ulaşılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Denklemlerin Diskriminantlarını Yazma
Verilen denklemlerin katsayılarını diskriminant formülünde yerine yazalım:
- x^2 - mx + n = 0 denklemi için:
\Delta_1 = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot n = m^2 - 4n
Soruda \Delta_1 = m - n olarak verildiğinden:
m^2 - 4n = m - n \implies m^2 - m = 3n \quad \text{(1. denklem)}
- x^2 - nx + m = 0 denklemi için:
\Delta_2 = (-n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = n^2 - 4m
Soruda \Delta_2 = n - m olarak verildiğinden:
n^2 - 4m = n - m \implies n^2 - n = 3m \quad \text{(2. denklem)}
Adım 2 — Denklemleri Taraf Tarafa Çıkararak Ortak Çarpan Parantezine Alma
Elde ettiğimiz iki eşitliği taraf tarafa çıkaralım:
(m^2 - n^2) - (m - n) = 3n - 3m
Sağ tarafı -3 parantezine alıp sol tarafa taşıyalım:
(m - n)(m + n) - (m - n) = -3(m - n)
(m - n)(m + n) - (m - n) + 3(m - n) = 0
(m - n) \cdot [(m + n) - 1 + 3] = 0
(m - n)(m + n + 2) = 0
Adım 3 — m + n Toplamını Bulma
Soruda m ve n birbirinden farklı (m \neq n \implies m - n \neq 0) dendiği için her iki tarafı (m - n) ifadesine bölebiliriz:
m + n + 2 = 0 \implies m + n = -2
CEVAP: A) -2 (m + n = -2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: “m \neq n” koşulu, çözüm sırasında m - n çarpanının sıfırdan farklı olduğunu garanti eder. Böylece ifadeyi güvenle sadeleştirip m + n + 2 = 0 bağıntısına doğrudan ulaşabiliriz.