m ve n 1’den büyük pozitif tam sayılar olmak üzere
4m , \frac{72}{2m + n + 1}, 3n + 1
ifadeleri sırasıyla ardışık doğal sayılardır.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi asal sayıdır?
A) 2n + m
B) n - m
C) n^m + 1
D) n^m - 1
E) m + n
Ardışık Doğal Sayılar ve Asal Sayı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sırasıyla artan ardışık doğal sayılar arasındaki fark 1’dir. a, b, c ardışık sayılar ise b = a + 1 ve c = a + 2 eşitlikleri sağlanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ardışık Sayı Eşitliklerini Kurma
Verilen ifadeler sırasıyla ardışık doğal sayılar olduğundan:
- 1.\text{ terim} = 4m
- 2.\text{ terim} = \dfrac{72}{2m + n + 1} = 4m + 1
- 3.\text{ terim} = 3n + 1 = 4m + 2
- terim eşitliğinden n değerini m cinsinden ifade edelim:
3n = 4m + 1 \implies n = \frac{4m + 1}{3}
Adım 2 — m ve n Değerlerini Belirleme
m ve n 1’den büyük pozitif tam sayılar olduğundan, 4m + 1 ifadesi 3’ün katı olmalıdır (m \in \{2, 5, 8, \dots\}).
m = 2 için:
n = \frac{4(2) + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3
Bulunan m = 2 ve n = 3 değerlerini ortadaki terimde yerine koyup kontrol edelim:
\frac{72}{2(2) + 3 + 1} = \frac{72}{8} = 9
Terimler sırasıyla 4(2) = 8, 9 ve 3(3) + 1 = 10 olup ardışık sayı şartını eksiksiz sağlar.
Adım 3 — Seçenekleri Değerlendirme
m = 2 ve n = 3 değerlerini şıklarda inceleyelim:
- A) 2n + m = 2(3) + 2 = 8 (Asal değil)
- B) n - m = 3 - 2 = 1 (1 asal sayı değildir)
- C) n^m + 1 = 3^2 + 1 = 10 (Asal değil)
- D) n^m - 1 = 3^2 - 1 = 8 (Asal değil)
- E) m + n = 2 + 3 = 5 (5 bir asal sayıdır)
CEVAP: E) m + n (m + n = 5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: n - m = 1 sonucuna dikkat edilmelidir; 1 sayısı asal sayı tanımına girmez, en küçük asal sayı 2’dir.