M , n ve p pozitif tam sayılar olmak üzere

Question Answer
1

m , n ve p pozitif tam sayılar olmak üzere
T = 6m + 4 = 8n + 6 = 3p + 1
olduğuna göre, üç basamalı en küçük T değeri kaçtır?
A) 122
B) 112
C) 118
D) 120
E) 132

m , n ve p pozitif tam sayılar olmak üzere T = 6m + 4 = 8n + 6 = 3p + 1 olduğuna göre,...
m , n ve p pozitif tam sayılar olmak üzere T = 6m + 4 = 8n + 6 = 3p + 1 olduğuna göre,...1024×525 133 KB

2

Bölünebilme ve EKOK Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Ortak katların en küçüğü: \text{EKOK}(a, b, c)
  • Eşitliğin her tarafına aynı sabit sayı eklenerek ortak çarpan parantezine alma yöntemi:
T + k = a(m + x) = b(n + y) = c(p + z)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eşitlikleri İnceleme ve Sabit Terim Ekleme
Verilen eşitlikteki bölenler ile kalanlar arasındaki farkı inceleyelim:

  • 6 - 4 = 2
  • 8 - 6 = 2
  • 3 - 1 = 2

Her bir ifadede bölen ile kalan arasındaki fark 2’dir. Bu nedenle eşitliğin her tarafına 2 ekleyelim:

T + 2 = 6m + 6 = 8n + 8 = 3p + 3

İfadeleri ortak çarpan parantezine alalım:

T + 2 = 6(m + 1) = 8(n + 1) = 3(p + 1)

Bu durum, T + 2 sayısının 6, 8 ve 3 sayılarının ortak bir katı olduğunu gösterir.

Adım 2 — EKOK Hesabı
6, 8 ve 3 sayılarının en küçük ortak katını bulalım:

\text{EKOK}(6, 8, 3) = 24

Buradan, T + 2 sayısının 24’ün pozitif bir tam sayı katı olması gerektiği anlaşılır (k \in \mathbb{Z}^+):

T + 2 = 24k \implies T = 24k - 2

Adım 3 — Üç Basamaklı En Küçük Değerin Belirlenmesi
T sayısının üç basamaklı (T \ge 100) en küçük pozitif tam sayı olması istendiğinden:

24k - 2 \ge 100
24k \ge 102
k \ge 4{,}25

Bu eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı k = 5’tir.

k = 5 değerini yerine yazarak T sayısını bulalım:

T = 24 \cdot 5 - 2
T = 120 - 2 = 118

(Sağlama: m=19, n=14, p=39 olur ve tümü pozitif tam sayıdır.)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı — 118
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Bölen-Kalan İlişkisi: Bir bölme işleminde bölen ile kalan arasındaki fark sabitse, sayıya bu fark kadar ekleme yapılarak tam bölünme elde edilir.
  • EKOK (En Küçük Ortak Kat): Birden fazla sayma sayısının ortak katlarının en küçüğüdür.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Eşitlikteki kalanları doğrudan toplayıp çıkarmak veya sadece 6 ile 8’in EKOK’unu alıp 3’ü hesaba katmamak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Eşitliğin her terimine aynı sayıyı (+2) ekleyerek tüm terimleri katsayılarının tam katı haline getirmek.

Benzer bir EKOK ve bölünebilme sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?