m , n ve p pozitif tam sayılar olmak üzere
k = 2m - 3 = 3n - 2 = 7p + 2
olduğuna göre, $k$’nin en küçük üç basamaklı değeri kaçtır?
A) 120
B) 117
C) 119
D) 118
E) 121
EKOK Yardımıyla Sayı Değeri Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\text{EKOK}(a, b, c) \quad \text{ve bölünebilme kuralları}
k + x = a \cdot (m + c_1) = b \cdot (n + c_2) = c \cdot (p + c_3)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitlikleri İnceleme ve Uygun Sabit Sayıyı Belirleme
Verilen eşitlikte katsayıların ortak bir paranteze alınabilmesi için eşitliğin her tarafına +5 sayısı eklenir:
k = 2m - 3 = 3n - 2 = 7p + 2
k + 5 = 2m - 3 + 5 = 3n - 2 + 5 = 7p + 2 + 5
k + 5 = 2(m + 1) = 3(n + 1) = 7(p + 1)
Bu durumda k + 5 sayısı; 2, 3 ve 7 sayılarının ortak bir katıdır.
Adım 2 — En Küçük Ortak Katı (EKOK) Hesaplama
2, 3 ve 7 sayıları aralarında asal olduğundan:
\text{EKOK}(2, 3, 7) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42
Buradan k + 5 sayısının 42’nin bir pozitif tam sayı katı (A) olması gerektiği anlaşılır:
k + 5 = 42 \cdot A \implies k = 42A - 5
Adım 3 — Üç Basamaklı En Küçük k Değerini Bulma
k sayısının en küçük üç basamaklı pozitif tam sayı değeri için A’ya sırasıyla pozitif tam sayı değerleri verilir:
- A = 1 için: k = 42(1) - 5 = 37 (İki basamaklı)
- A = 2 için: k = 42(2) - 5 = 84 - 5 = 79 (İki basamaklı)
- A = 3 için: k = 42(3) - 5 = 126 - 5 = 121 (Üç basamaklı en küçük değer)
m, n, p değerlerinin pozitif tam sayı olduğu kontrol edildiğinde:
- 2m - 3 = 121 \implies m = 62
- 3n - 2 = 121 \implies n = 41
- 7p + 2 = 121 \implies p = 17
Tüm koşullar sağlandığından aranan değer 121’dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 121
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- EKOK (En Küçük Ortak Kat): Farklı bölenlere ve kalanlara sahip bir denklem sisteminde, tüm ifadelere aynı sayı eklenerek veya çıkarılarak ortak çarpan parantezine ulaşılır ve EKOK bağıntısı kullanılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Eşitliklerin her birine farklı sayılar ekleyip katsayıları eşitlemeye çalışmak veya k’nin doğrudan 42’nin katı olduğunu varsaymak (126 gibi).- Doğru Yaklaşım: Eşitliğin her bir parçasına aynı tek bir sabiti (+5) ekleyerek tüm terimlerin katsayılarının tam katını elde etmek ve ardından EKOK mantığını uygulamak.
Benzer bir EKOK ve kalan bulma sorusu ile pratik yapmak ister misin?