)-7
3.
m bir reel say olmak @zere, dik koordinat düzleminde
f() =9x-5x+m
parabolü üzerinde, apsisi ve ordinati ayni olan sadece bir
nokta bulunmaktadir.
Buna göre, m kaçtır?
A) 1
B) 3
C6
D) 9
E) 36
80
Parabol Üzerinde Apsisi ve Ordinatı Eşit Olan Nokta Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir noktanın apsisi (x) ve ordinatı (y) birbirine eşitse bu nokta y = x doğrusu üzerindedir.
- ax^2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin yalnızca bir reel kökünün (çift katlı kök) olması için diskriminant sıfır olmalıdır:
\Delta = b^2 - 4ac = 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklem Kurma
Parabolün denklemi y = 9x^2 - 5x + m olarak verilmiştir. Apsisi ile ordinatı aynı olan nokta (x, x) biçimindedir; yani y = x eşitliği sağlanmalıdır:
x = 9x^2 - 5x + m
Adım 2 — İkinci Dereceden Denklemi Standart Forma Getirme
Eşitliğin sol tarafındaki x terimini sağ tarafa atarak denklemi sıfıra eşitleyelim:
9x^2 - 5x - x + m = 0
9x^2 - 6x + m = 0
Adım 3 — Tek Çözüm Şartını Uygulama (\Delta = 0)
Parabol üzerinde bu koşulu sağlayan yalnızca bir nokta olduğu belirtildiğinden, elde ettiğimiz denklemin çift katlı tek bir kökü olmalıdır. Bu nedenle diskriminant sıfıra eşitlenir:
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot m = 0
36 - 36m = 0
36m = 36
m = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Apsisi Ordinatına Eşit Noktalar (y = x): Koordinat düzleminde I. açıortay doğrusunu temsil eder. Bir eğrinin bu şartı sağlayan noktaları, eğri ile y = x doğrusunun kesişim noktalarıdır.
- Diskriminant (\Delta = 0): İkinci dereceden denklemin teğetlik veya tek bir ortak noktaya sahip olma durumunu ifade eder.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Parabolün tepe noktasının apsis ve ordinatının eşit olduğunu varsayarak doğrudan r = k eşitliğini kurmak.- Doğru Yaklaşım: Soruda tepe noktası değil, parabol üzerindeki herhangi bir (x, y) noktası için y = x şartı istenmektedir. Bu nedenle ortak çözüm denkleminin \Delta = 0 şartı incelenmelidir.
Bu parabolün y = -x (apsisi ve ordinatı zıt işaretli) doğrusuna teğet olması durumunda m değerinin kaç olacağını birlikte incelemek ister misin?