m bir gerçel sayı olmak üzere, pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları
f(x) = mx^2 + x + 1
g(x) = x\sqrt{x} + x
biçiminde tanımlanıyor.
(fog)(4) = 22
olduğuna göre f(4) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Bileşke Fonksiyon ve Fonksiyon Değeri Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
(f \circ g)(x) = f(g(x))
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — g(4) Değerini Hesaplama
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f \circ g)(4) = f(g(4)) şeklindedir. İlk olarak içteki g(4) değerini hesaplayalım:
g(x) = x\sqrt{x} + x
g(4) = 4\sqrt{4} + 4
g(4) = 4 \cdot 2 + 4 = 8 + 4 = 12
Adım 2 — m Katsayısını Bulma
(f \circ g)(4) = f(12) = 22 olarak verilmiştir. f(x) denkleminde x = 12 yazıp 22’ye eşitleyerek m değerini bulalım:
f(x) = mx^2 + x + 1
f(12) = m \cdot (12)^2 + 12 + 1 = 22
144m + 13 = 22
144m = 22 - 13
144m = 9 \implies m = \frac{9}{144} = \frac{1}{16}
Adım 3 — f(4) Değerini Hesaplama
m = \frac{1}{16} olarak bulunduğuna göre f(x) fonksiyonunun kuralı f(x) = \frac{1}{16}x^2 + x + 1 olur. Şimdi x = 4 değerini yerine yazalım:
f(4) = \frac{1}{16} \cdot (4)^2 + 4 + 1
f(4) = \frac{1}{16} \cdot 16 + 4 + 1
f(4) = 1 + 4 + 1 = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bileşke Fonksiyon: (f \circ g)(x) ifadesinde sağdaki fonksiyonun çıktısı, soldaki fonksiyonun girdisi olur; yani işlem sırası içten dışa doğru f(g(x)) biçimindedir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: (f \circ g)(4) ifadesini f(4) \cdot g(4) çarpımı veya g(f(4)) ile karıştırmak.- Doğru Yaklaşım: Sağdaki fonksiyonu daima en içe yazıp önce onun sayısal değerini bulmak: (f \circ g)(4) = f(g(4)).
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?