M bir gerçel sayı olmak üzere, denkleminin kökleri x, ve x, dir

YKS TYT Forum
1

m bir gerçel sayı olmak üzere,
x2-

(m

- 2)dot x + m -4 =0

denkleminin kökleri x, ve x, dir.
x<0<x, ve x|< x, olduğuna göre, m’nin alabileceği
en geniş değer aralıiğını bulunuz.

Soru Görseli
Soru Görseli1024×407 83.7 KB

2

İkinci Dereceden Denklemlerde Kökler ve Katsayılar Arasındaki İlişki

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

ax^2 + bx + c = 0 denklemi için:

  1. Kökler Çarpımı: x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
  2. Kökler Toplamı: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Köklerin İşaret Analizi (Kökler Çarpımı)
Soruda x_1 < 0 < x_2 olduğu verilmiş. Bu durum, köklerin zıt işaretli olduğunu gösterir. Zıt işaretli iki sayının çarpımı her zaman negatiftir.

  • x_1 \cdot x_2 < 0 olmalıdır.
  • Denklemde a = 1 ve c = m - 4 olduğuna göre:
    \frac{m - 4}{1} < 0 \implies m < 4

Adım 2 — Mutlak Değer Analizi (Kökler Toplamı)
Soruda |x_1| < x_2 bilgisi verilmiş. x_1 negatif bir sayı olduğu için mutlak değeri -x_1 olarak çıkar. Yani -x_1 < x_2 ifadesini elde ederiz. Bu eşitsizliği düzenlersek:

  • x_1 + x_2 > 0 olmalıdır.
  • Denklemde b = -(m - 2) ve a = 1 olduğuna göre:
    -\frac{-(m - 2)}{1} > 0 \implies m - 2 > 0 \implies m > 2

Adım 3 — Değer Aralıklarını Birleştirme
Elde ettiğimiz iki eşitsizliği birleştirelim:

    1. Koşul: m < 4
    1. Koşul: m > 2

Bu iki koşulu aynı anda sağlayan m değerleri 2 < m < 4 aralığındadır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: m \in (2, 4)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Zıt İşaretli Kökler

  • Tanım: Bir denklemin bir kökünün negatif, diğerinin pozitif olması durumudur.
  • Bu problemde: x_1 \cdot x_2 < 0 şartı ile m < 4 sonucu bulunmuştur.

2. Köklerin Mutlak Değerce Kıyaslanması

  • Tanım: Pozitif kökün mutlak değerce negatif kökten büyük olması, toplamın pozitif olacağı anlamına gelir.
  • Bu problemde: |x_1| < x_2 şartı kökler toplamının pozitif olduğunu (m > 2) doğrulamıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Diskriminant (\Delta) İncelemesi Yapmak

  • Yanlış: Kökler zıt işaretli olduğunda (x_1 \cdot x_2 < 0) \Delta her zaman sıfırdan büyüktür.
  • Doğru: Bu tür sorularda kökler çarpımı negatifse \Delta > 0 incelemesi yapmak vakit kaybıdır, çünkü a \cdot c < 0 ise b^2 - 4ac ifadesi her zaman pozitiftir.

Bu çözümdeki adımlardan anlamadığın bir kısım oldu mu? İstersen bu konuyu pekiştirmek için benzer bir eşitsizlik sorusu daha çözebiliriz.