m bir gerçek sayı olmak üzere,
x^2 - mx - m - 1 = 0
ikinci dereceden denkleminin kökleri x_{1} ve x_{2}'dir.
Kökleriyle ilgili,
• x_{1} > x_{2}
• 2x_{1} - 3x_{2} = 13
olduğu bilindiğine göre, m nin pozitif değeri kaçtır?
A) \frac{1}{2}
B) 1
C) \frac{3}{2}
D) 2
E) 4
İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri (Viète Teoremi)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: ax^2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminde kökler toplamı x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, kökler çarpımı ise x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kök-Katsayı Bağıntılarını Yazma
Verilen x^2 - mx - (m + 1) = 0 denkleminde a = 1, b = -m ve c = -(m + 1)'dir:
x_1 + x_2 = -\frac{-m}{1} = m
x_1 \cdot x_2 = \frac{-(m + 1)}{1} = -(m + 1)
Adım 2 — Kökleri m Cinsinden İfade Etme
Soruda verilen 2x_1 - 3x_2 = 13 eşitliği ile kökler toplamını ortak çözelim:
x_1 + x_2 = m \implies 3x_1 + 3x_2 = 3m
Bu eşitliği 2x_1 - 3x_2 = 13 denklemi ile taraf tarafa toplarsak:
5x_1 = 3m + 13 \implies x_1 = \frac{3m + 13}{5}
x_2 = m - x_1 = m - \frac{3m + 13}{5} = \frac{2m - 13}{5}
Adım 3 — Kökler Çarpımını Kullanarak m Değerini Bulma
Bulunan kökleri kökler çarpımı bağıntısında yerine yazalım:
\left(\frac{3m + 13}{5}\right) \cdot \left(\frac{2m - 13}{5}\right) = -(m + 1)
(3m + 13)(2m - 13) = -25(m + 1)
6m^2 - 13m - 169 = -25m - 25
6m^2 + 12m - 144 = 0
Eşitliğin her iki tarafını 6’ya bölelim:
m^2 + 2m - 24 = 0 \implies (m + 6)(m - 4) = 0
Buradan m = -6 veya m = 4 bulunur.
m = 4 için:
x_1 = \frac{3(4) + 13}{5} = 5, \quad x_2 = \frac{2(4) - 13}{5} = -1
x_1 > x_2 (5 > -1) şartı sağlanır ve m değeri pozitiftir.
CEVAP: E) 4 (m = 4)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu denklem x^2 - 1 - m(x + 1) = (x + 1)(x - 1 - m) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılarak köklerin doğrudan -1 ve m+1 olduğu görülüp işlem çok daha hızlı tamamlanabilirdi.