m(B'FC) = 40 irc olduğuna göre, m(ECF) = x kaç derecededir?

Question Answer
1
  1. ABC üçgeni biçiminde kağıt parçası [AB]//[EF] olmak üzere EF boyunca aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi katlanıyor. Katlama işlemi sonucunda A köşesi AC kenarı üzerindeki A’ noktasına geliyor.
    m(B’FC) = 40^irc olduğuna göre, m(ECF) = x kaç derecededir?
    A) 15
    B) 20
    C) 25
    D) 30
    E) 35

ABC üçgeni biçiminde kağıt parçası // olmak üzere EF boyunca aşağıdaki şekilde...
ABC üçgeni biçiminde kağıt parçası // olmak üzere EF boyunca aşağıdaki şekilde...800×941 89 KB

2

Katlama Sonrası m(\widehat{ECF}) = x Açısının Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN KURALLAR VE FORMÜLLER:

  • Katlama Prensibi: Bir şekil bir doğru boyunca katlandığında katlama çizgisi açıortay ve simetri eksenidir (m(\widehat{AEF}) = m(\widehat{A'EF}) ve m(\widehat{BFE}) = m(\widehat{B'FE})).
  • Doğrusal Açı Kuralı: Doğru üzerindeki açıların toplamı 180^\circ’dir.
  • Üçgenin İç Açıları Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180^\circ’dir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — [EF] Katlama Çizgisinin [AC] Kenarına Dikliğinin Belirlenmesi

  • A noktası katlandığında [AC] kenarı üzerindeki A' noktasına gelmektedir.
  • A, E, A' ve C noktaları aynı doğru üzerindedir.
  • Katlama simetrisinden dolayı m(\widehat{AEF}) = m(\widehat{A'EF}) olur.
  • A-E-A' doğrusal açı oluşturduğundan:
    m(\widehat{AEF}) + m(\widehat{A'EF}) = 180^\circ
    2 \cdot m(\widehat{A'EF}) = 180^\circ \implies m(\widehat{A'EF}) = m(\widehat{FEC}) = 90^\circ
  • Dolayısıyla [EF] \perp [AC]'dir.

Adım 2 — F Noktasındaki Katlama Açılarının Hesaplanması

  • [BC] kenarı doğrusal olduğundan m(\widehat{BFC}) = 180^\circ’dir.
  • Katlama sonucunda [FB] kenarı [FB'] konumuna geldiği için:
    m(\widehat{BFE}) = m(\widehat{B'FE})
  • Şekle göre m(\widehat{B'FE}) = m(\widehat{EFC}) + m(\widehat{B'FC})'dir.
  • m(\widehat{EFC}) = \alpha diyelim. Verilen m(\widehat{B'FC}) = 40^\circ olduğuna göre:
    m(\widehat{B'FE}) = \alpha + 40^\circ
    m(\widehat{BFE}) = \alpha + 40^\circ

Adım 3 — \alpha = m(\widehat{EFC}) Açısının Bulunması

  • B, F, C noktaları doğrusal olduğundan:
    m(\widehat{BFE}) + m(\widehat{EFC}) = 180^\circ
    (\alpha + 40^\circ) + \alpha = 180^\circ
    2\alpha + 40^\circ = 180^\circ
    2\alpha = 140^\circ \implies \alpha = 70^\circ
  • Buradan m(\widehat{EFC}) = 70^\circ bulunur.

Adım 4 — EFC Dik Üçgeninde x Açısının Hesaplanması

  • EFC dik üçgeninde m(\widehat{FEC}) = 90^\circ ve m(\widehat{EFC}) = 70^\circ’dir.
  • İç açılar toplamından:
    m(\widehat{FEC}) + m(\widehat{EFC}) + m(\widehat{ECF}) = 180^\circ
    90^\circ + 70^\circ + x = 180^\circ
    160^\circ + x = 180^\circ
    x = 20^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B şıkkı (20^\circ)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Katlama Çizgisi ve Simetri

  • Tanım: Bir geometrik şekil bir doğru boyunca katlandığında, katlama çizgisi açıortay görevi görür ve açılar ile uzunluklar korunur.
  • Bu problemde: A noktası aynı doğru üzerindeki A' noktasına katlandığı için katlama çizgisi olan [EF], [AC] doğrusuna dik olmuştur.

2. Doğruda Açılar

  • Tanım: Bir doğru üzerindeki komşu açıların toplamı 180^\circ’dir.
  • Bu problemde: Katlanan \widehat{BFE} açısı ile \widehat{EFC} açısının toplamı 180^\circ eşitliğini kurmamızı sağlamıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Katlama açısını tek taraflı düşünmek

  • Yanlış: m(\widehat{B'FC}) = 40^\circ verildiğinde bunu doğrudan açıortay farkı olarak alıp \alpha = 40^\circ kabul etmek.
  • Doğru: Katlama öncesindeki açının (\widehat{BFE}), katlama sonrasındaki açıya (\widehat{B'FE}) eşit olduğunu yazıp doğru açı denkleminden (2\alpha + 40^\circ = 180^\circ) \alpha’yı bulmak.
  • Neden yanlış: Katlama işleminde açı iki katman oluşturur; üst üste gelen açıların eşitliği yazılmadan doğru sonuca ulaşılamaz.

Bu çözümdeki katlama simetrisi mantığını veya benzer geometri sorularını pekiştirmek için başka bir örnek çözmemi ister misin?