, , m(BAD) = α m(DAC) = β Verilenlere göre, tan α aşağıdakilerden hangisidir? | 1793271862330

LİSE
1

|AB| = 6 , |AC| = 8
|BD| = 3 , |DC| = 7
m(BAD) = \alpha
m(DAC) = \beta
Verilenlere göre, \tan \alpha aşağıdakilerden hangisidir?
A) \frac{1}{3}
B) \frac{1}{2}
C) \frac{1}{4}
D) \frac{2}{5}
E) \frac{4}{7}

, , m(BAD) = α m(DAC) = β Verilenlere göre, tan α aşağıdakilerden hangisidir?
, , m(BAD) = α m(DAC) = β Verilenlere göre, tan α aşağıdakilerden hangisidir?1024×768 93.3 KB

2

Üçgende Trigonometrik Alan ve Bağıntılar

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  1. Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
    a^2 + b^2 = c^2
  2. Sinüslü Alan Formülü: İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgenin alanı:
    Alan = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\theta
  3. Taban-Alan İlişkisi: Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı, taban uzunlukları oranına eşittir:
    \frac{\text{Alan}(ABD)}{\text{Alan}(ADC)} = \frac{|BD|}{|DC|}
  4. Tümler Açılar: \alpha + \beta = 90^\circ ise \sin\beta = \cos\alpha ve \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} olur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — ABC Üçgeninin Dik Üçgen Olduğunu Belirleme
ABC üçgeninin kenar uzunluklarını inceleyelim:

|AB| = 6
|AC| = 8
|BC| = |BD| + |DC| = 3 + 7 = 10

Kenarlar arasındaki ilişkiyi kontrol edelim:

6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2

6-8-10 özel dik üçgeni sağlandığından, A açısı bir dik açıdır:

m(\widehat{BAC}) = \alpha + \beta = 90^\circ \implies \sin\beta = \cos\alpha

Adım 2 — Alanlar Oranını Yazma
ABD ve ADC üçgenlerinin A köşesinden indirilen yükseklikleri ortak olduğundan, alanları tabanları ile orantılıdır:

\frac{\text{Alan}(ABD)}{\text{Alan}(ADC)} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{3}{7}

Adım 3 — Sinüslü Alan Formülünü Kullanarak \tan\alpha Değerini Bulma
Her iki üçgenin alanını AD ortak kenarına bağlı olarak sinüslü alan formülü ile yazıp oranlayalım:

\frac{\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot |AD| \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot |AD| \cdot \sin\beta} = \frac{3}{7}

Gerekli sadeleştirmeleri yapalım:

\frac{6 \sin\alpha}{8 \sin\beta} = \frac{3}{7}
\frac{3}{4} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{3}{7}

Her iki tarafı \frac{4}{3} ile çarpalım:

\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{4}{7}

\alpha + \beta = 90^\circ olduğundan \sin\beta = \cos\alpha eşitliğini yerine yazalım:

\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4}{7} \implies \tan\alpha = \frac{4}{7}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E — \dfrac{4}{7}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Sinüslü Alan Teoremi: Ortak bir kenara ve köşeye sahip iki üçgende açı-alan geçişi yapmak için en pratik yöntemdir.
  • Tümler Açılar: Birbirini 90^\circ’ye tamamlayan iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir (\sin\beta = \cos\alpha).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: AD uzunluğunu Stewart bağıntısı ile bulmaya çalışarak vakit kaybetmek veya üçgenin 6-8-10 dik üçgeni olduğunu fark etmemek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Öncelikle kenar uzunluklarından üçgenin türünü (6^2 + 8^2 = 10^2 \rightarrow 90^\circ) tespit edip alanlar oranı üzerinden doğrudan trigonometrik oranlara ulaşmak.

Bu soru tipinde \tan\beta veya |AD| kenarortay/kesen uzunluğunu bulmak üzere benzer bir alıştırma yapmak ister misin?