Yukarıdaki verilere göre, m(BÂD) = a kaç derecedir?
m(\widehat{BÂD}) = \alpha Açısının Değerini Bulma
KULLANILAN KURAL VE TEOREMLER:
- Kenarortay ve Yükseklik Bağıntısı: Bir üçgende tabana inilen dikme tabanı iki eşit parçaya bölüyorsa ([AD] \perp [BC] ve |BD| = |DC|), [AD] doğrusu BC’nin orta dikme doğrusudur. Bu doğru üzerindeki her nokta B ve C köşelerine eşit uzaklıktadır (|AB| = |AC| ve |FB| = |FC|).
- İkizkenar Üçgen Özellikleri: Eşit kenarların karşısındaki taban açıları birbirine eşittir.
- Üçgende İç Açı Toplamı: Bir üçgenin iç açıları toplamı 180^\circ’dir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — F Noktasının Özelliğini ve İkizkenarlıkları Belirleme
- [AD] \perp [BC] ve |BD| = |DC| verildiğinden, [AD] orta dikme doğrusudur.
- F noktası [AD] üzerinde olduğundan |FB| = |FC| olur.
- Soruda |CF| = |BE| verildiği için:|BE| = |BF|elde edilir ve \triangle BEF bir ikizkenar üçgen olur.
Adım 2 — \triangle BEF Üçgeninin Açılarını Bulma
- E, F, C noktaları doğrusal olduğundan m(\widehat{BEF}) = m(\widehat{BEC}) = 70^\circ’dir.
- \triangle BEF ikizkenar (|BE| = |BF|) olduğundan:m(\widehat{BFE}) = m(\widehat{BEF}) = 70^\circ
- \triangle BEF iç açıları toplamından tepe açısı m(\widehat{EBF}) bulunur:m(\widehat{EBF}) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ
Adım 3 — \triangle EBC Üçgeninden Taban Açısını Hesaplama
- |FB| = |FC| olduğundan \triangle FBC ikizkenardır. m(\widehat{FBC}) = m(\widehat{FCB}) = x diyelim.
- Buradan B açısının tamamı m(\widehat{B}) = 40^\circ + x olur.
- \triangle EBC üçgeninin iç açıları toplamını yazalım:m(\widehat{EBC}) + m(\widehat{BEC}) + m(\widehat{ECB}) = 180^\circ(40^\circ + x) + 70^\circ + x = 180^\circ2x + 110^\circ = 180^\circ2x = 70^\circ \implies x = 35^\circ
Adım 4 — \triangle ABD Dik Üçgeninde \alpha Açısını Bulma
- B açısının ölçüsü:m(\widehat{B}) = 40^\circ + 35^\circ = 75^\circ
- [AD] \perp [BC] olduğundan \triangle ABD bir dik üçgendir (m(\widehat{ADB}) = 90^\circ).
- \triangle ABD dik üçgeninde dar açıların toplamı 90^\circ olduğundan:\alpha + m(\widehat{B}) = 90^\circ\alpha + 75^\circ = 90^\circ \implies \alpha = 15^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (15^\circ)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Orta Dikme Doğrusu
- Tanım: Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve ona dik olan doğrudur.
- Bu problemde: [AD] doğrusu üzerindeki A ve F noktalarının B ve C’ye olan uzaklıklarının eşitliği (|AB|=|AC| ve |FB|=|FC|) kullanılarak ikizkenar üçgenler oluşturulmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
F noktasının orta dikme üzerindeki özelliğini görmemek
- Yanlış: |BE| = |CF| eşitliğini doğrudan \triangle ABC’nin kenarlarıyla ilişkilendirmeye çalışmak.
- Doğru: [BF] yardımcı doğrusunu düşünerek |FB| = |FC| = |BE| geçişini yapıp \triangle BEF ikizkenar üçgenini fark etmek.
- Neden yanlış: F ile B arasındaki simetri bağlantısı kurulmazsa m(\widehat{BEC}) = 70^\circ açısı kullanılamaz.
Bu soru tipinde benzer bir ikizkenarlık veya açı sorusu çözmemi ister misiniz?
Bana bu cevabı Özetle
m(\widehat{BÂD}) = \alpha Çözümünün 4 Adımlı Özeti
Sorunun çözümü orta dikme simetrisi ve gizli ikizkenar üçgeni fark etmeye dayanır:
- Orta Dikme Özelliği: [AD] \perp [BC] ve |BD| = |DC| olduğundan, F noktası B ve C’ye eşit uzaklıktadır \rightarrow |FB| = |FC|.
- Gizli İkizkenar Üçgen (\triangle BEF): Soruda |CF| = |BE| verildiğinden |BE| = |BF| olur. m(\widehat{BEF}) = 70^\circ olduğundan taban açıları 70^\circ - 70^\circ, tepe açısı ise m(\widehat{EBF}) = 40^\circ çıkar.
- B Açısının Hesaplanması: |FB| = |FC| ikizkenarlığından taban açılarına x denilirse, \triangle EBC iç açıları toplamından 40^\circ + x + 70^\circ + x = 180^\circ \implies x = 35^\circ bulunur. Böylece m(\widehat{B}) = 40^\circ + 35^\circ = 75^\circ olur.
- \alpha Açısının Bulunması: \triangle ABD bir dik üçgen (90^\circ) olduğundan dar açılar birbirini 90^\circ’ye tamamlar:\alpha = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (15^\circ)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Özetin içinde kafana takılan veya üzerinden tekrar geçmemi istediğin bir adım var mı?