es 5.
vi ile
ların
asın-
m(ABC)-60° ve m(ACB)=40° olmak üzere, ABC üçgeni biçi
mindeki bir kağıdın [AB] kenarı AD boyunca katlandığında B
köşesi C noktasına gelmiştir.
r açı1 72
m(B’AC)=34° olduğuna göre, m(DAE) kaç derecedir?
A) 52
B) 55
C) 57
D) 60
E) 64
ABC Üçgeninde Katlama Sonucu Oluşan Açının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURALLAR:
- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180^\circ’dir:m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ
- Katlama Kuralı: Bir şekil bir doğru boyunca katlandığında, katlama çizgisi açıortay olur. Dolayısıyla katlanan açılar birbirine eşittir:m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{B'AD}) \quad \text{ve} \quad m(\widehat{CAE}) = m(\widehat{C'AE})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Açısının Tamamını Bulma
ABC üçgeninin iç açıları toplamından m(\widehat{BAC}) açısını hesaplayalım:
m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ
m(\widehat{BAC}) + 60^\circ + 40^\circ = 180^\circ
m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ
Adım 2 — Katlama Açılarını İsimlendirme
- [AB] kenarı AD boyunca katlandığında:m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{B'AD}) = x
- [AC] kenarı AE boyunca katlandığında:m(\widehat{CAE}) = m(\widehat{C'AE}) = y
- Bizden istenen açıya m(\widehat{DAE}) = \alpha diyelim.
Adım 3 — Açılar Arasındaki Bağıntıları Kurma
A köşesindeki tüm açının toplamı 80^\circ olduğundan:
m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{DAE}) + m(\widehat{CAE}) = 80^\circ
x + \alpha + y = 80^\circ \implies x + y = 80^\circ - \alpha
Katlanmış durumda \widehat{DAE} açısı; m(\widehat{B'AD}) = x, m(\widehat{C'AE}) = y ve ortada kalan m(\widehat{B'AC'}) = 34^\circ açılarının toplamından oluşmaktadır:
m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{B'AD}) + m(\widehat{B'AC'}) + m(\widehat{C'AE})
\alpha = x + 34^\circ + y
\alpha = (x + y) + 34^\circ
Adım 4 — Denklemi Çözme
Bulduğumuz x + y = 80^\circ - \alpha ifadesini yerine yazalım:
\alpha = (80^\circ - \alpha) + 34^\circ
2\alpha = 114^\circ
\alpha = 57^\circ
Buradan m(\widehat{DAE}) = 57^\circ bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 57
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Katlama Çizgisi (Açıortay)
- Tanım: Bir geometrik şekil bir doğru parçası boyunca katlandığında, katlama çizgisi simetri ekseni olup açıortay görevi görür.
- Bu problemde: AD doğrusu \widehat{BAB'} açısının, AE doğrusu ise \widehat{CAC'} açısının açıortayı olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Katlanan Açıların Eşitliğini Unutmak
- Yanlış: Katlama sonrasında oluşan yeni açıları bağımsız değişkenler olarak almak.
- Doğru: Katlama öncesi ve sonrası örtüşen açıların eşit olduğunu (m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{B'AD})) belirterek tek değişkene indirgemek.
- Neden yanlış: Katlama bir izometri (şeklin boyutunu ve açısını koruyan dönüşüm) olduğundan açılar değişmez.
Benzer bir üçgende katlama ve açıortay sorusu çözerek bu kuralı pekiştirmek ister misin?