Örnek 4
m, 2’den farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
X+ mx +8 =0
x^{2} + 2x + 4m =0
denklemlerinin birer kökleri ortaktır.
Buna göre, ortak olan kökü bulunuz.
Ortak Kökü Bulma Problemi (İkinci Dereceden Denklemler)
KULLANILAN KURAL: İki denklemin birer kökü ortaksa, her iki denklemi birbirine eşitleyerek (veya birbirinden çıkararak) x^2 terimini yok edebiliriz. Bu işlem bizi doğrudan ortak olan x köküne ulaştırır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemlerin Eşitlenmesi
Ortak kök her iki denklemi de sağladığı için denklemleri birbirine eşitliyoruz:
x^2 + mx + 8 = x^2 + 2x + 4m
Adım 2 — Denklemin Düzenlenmesi ve x Değerinin Yalnız Bırakılması
Her iki taraftaki x^2 terimleri birbirini götürür:
mx + 8 = 2x + 4m
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri (x içeren terimleri) diğer tarafa topluyoruz:
mx - 2x = 4m - 8
Adım 3 — Ortak Paranteze Alma ve Sadeleştirme
Sol tarafı x, sağ tarafı ise 4 parantezine alıyoruz:
x(m - 2) = 4(m - 2)
Soruda m \neq 2 olduğu belirtilmiştir. Bu durumda (m - 2) ifadesi sıfırdan farklıdır ve her iki tarafı (m - 2) ile sadeleştirebiliriz:
x = 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Ortak olan kök 4’tür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Kök
- Tanım: Birden fazla denklemi aynı anda sağlayan değerdir.
- Bu problemde: x=4 değerini her iki denklemde de yerine koyduğumuzda, her iki denklem için de aynı m değerini (veya tutarlı bir eşitliği) elde ederiz.
SIK YAPILAN HATALAR:
m Değerini Aramak
- Yanlış: Sorunun bizden m değerini istediğini sanarak işlem yapmak.
- Doğru: Soru bizden ortak olan kökü (x) istemektedir. x bulunduktan sonra istenirse m de bulunabilir ancak çözüm için şart değildir.
- Neden yanlış: Gereksiz vakit kaybına yol açar.
Bu tür “birer kökü ortak” sorularında x^2’li terimleri yok etmek her zaman en hızlı yöntemdir. Bu yöntemi kullanarak m değerini de bulmamı ister misin?