lun ücuendir
2aten rlr
DİF02
Bir zemine A ve B noktalarinda dik olarak yerleşti-
rilmiş eşit uzunlukta iki çubuk verilmiştir.
Zemin
B Zemin
A noktasindaki çubuk A noktası etrafında saat yö-
nünde ca kadar döndüğünde çubuğun uç noktası
diğer çubuğun orta noktasına gelmektedir.
B çubuğunda hiçbir değişme olmadığına göre
a kaç derecedir?
A) 30
B) 35
C) 45
D) 50
E) 60
-36
Çubukların Dönme Açısının (\alpha) Geometrik Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni Kuralı: Hipotenüs uzunluğu 2k olan bir dik üçgende, 30^\circ’lik açının karşısındaki dik kenar hipotenüsün yarısı (k) kadardır:
\sin(30^\circ) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{1}{2}
- Dönme Açısı Bağıntısı: Dikey konumdaki (90^\circ) bir doğru saat yönünde \alpha kadar döndüğünde zeminle yaptığı açı:
\theta = 90^\circ - \alpha \implies \alpha = 90^\circ - \theta
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çubuk Boylarını ve Orta Noktayı Tanımlama
- İki çubuğun boyu birbirine eşit verildiği için çubukların uzunluğuna 2k diyelim.
- B noktasındaki çubuk hareket etmemiştir. Bu çubuğun orta noktasına M dersek, M noktasının zemine (B noktasına) olan dik uzaklığı:
|BM| = \frac{2k}{2} = k
Adım 2 — Oluşan Dik Üçgeni Belirleme
- A noktasındaki çubuk döndürüldüğünde uç noktası M’ye temas etmektedir. Çubuğun boyu değişmediğinden:
|AM| = 2k
- B çubuğu zemine dik yerleştirildiğinden zemin ile B çubuğu arasındaki açı 90^\circ’dir (m(\widehat{ABM}) = 90^\circ).
- Böylece ABM bir dik üçgen oluşturur.
Adım 3 — Açıyı Hesaplama (30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Bağıntısı)
- ABM dik üçgeninde hipotenüs |AM| = 2k ve düşey dik kenar |BM| = k’dir.
\sin(m(\widehat{MAB})) = \frac{|BM|}{|AM|} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}
- Sinüsü \frac{1}{2} olan dar açı 30^\circ olduğundan:
m(\widehat{MAB}) = 30^\circ
(Çubuğun zeminle yaptığı son açı 30^\circ’dir.)
Adım 4 — Saat Yönündeki Dönme Açısını (\alpha) Bulma
- A çubuğu başlangıçta zemine diktir; yani zeminle 90^\circ’lik açı yapmaktadır.
- Saat yönünde \alpha kadar döndükten sonra zeminle yaptığı açı 30^\circ olduğuna göre:
\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Üçgeni
- Tanım: Açılarının ölçüleri 30^\circ, 60^\circ ve 90^\circ olan; kenar uzunlukları sırasıyla k, k\sqrt{3} ve 2k ile orantılı özel dik üçgendir.
- Bu problemde: Hipotenüs çubuğun tam boyu (2k), karşı dik kenar ise diğer çubuğun yarısı (k) olduğu için açının 30^\circ olduğunu doğrudan belirlemiştir.
2. Dönme Açısı (Rotasyon)
- Tanım: Bir nesnenin sabit bir merkez etrafında ilk konumu ile son konumu arasında süpürdüğü açısal farktır.
- Bu problemde: Çubuk başlangıçta dikey (90^\circ) olduğundan, dönme miktarı 90^\circ’den son konumun zeminle yaptığı açının çıkarılmasıyla hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Zeminle Yapılan Açı ile Dönme Açısını Karıştırmak
- Yanlış: m(\widehat{MAB}) = 30^\circ bulup cevabı doğrudan A) 30 olarak işaretlemek.
- Doğru: Çubuğun zeminle yaptığı açı 30^\circ’dir; ancak soru çubuğun düşey konumdan ne kadar döndüğünü (\alpha) sormaktadır: \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.
- Neden yanlış: Dönme hareketi düşey eksenden başladığı için dönme açısı zemin açısının tümleri (90^\circ - \theta) olur.
Bu sorudaki dönme mantığını ve özel üçgen bağıntılarını pekiştirmek için benzer bir ÖSYM tarzı döndürme sorusu çözmemi ister misin?