Merhaba Fatma, soruyu adım adım inceleyelim:
1. Şeklin Düzeni ve Bilinenler
– A bahçesi kare ve alanı 180 m²
– B bahçesi dikdörtgen ve alanı 30 m²
– C bahçesi dikdörtgen ve alanı 120 m²
– B ve C, A’nın yanına üst üste yerleştirilmiş; dış çevre boyunca √5 m aralıklarla çam fidanı dikilecek.
Şekli şöyle hayal edebilirsiniz:
┌───────────────┬───────────┐
│ │ B │ ← B alanı = 30 m²
│ A ├───────────┤
│ (kare) │ C │ ← C alanı = 120 m²
└───────────────┴───────────┘
2. A Bahçesinin Kenar Uzunluğu
A bir kare olduğuna göre kenar uzunluğunu k ile gösterirsek:
k^2 = 180
\quad\Longrightarrow\quad
k = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\ (\text{m})
Dolayısıyla şeklin toplam yüksekliği de 6\sqrt5 m.
3. B ve C Bahçelerinin Ölçüleri
B ve C aynı dikey sütunu oluşturuyor; genişlikleri x, yükseklikleri sırasıyla h_1 ve h_2.
– B: x \cdot h_1 = 30
– C: x \cdot h_2 = 120
– Ayrıca h_1 + h_2 = 6\sqrt5
Bunları yazalım:
h_1 = \frac{30}{x},
\quad
h_2 = \frac{120}{x},
\quad
\frac{30}{x} + \frac{120}{x} = 6\sqrt5
\;\Longrightarrow\;
\frac{150}{x} = 6\sqrt5
\;\Longrightarrow\;
x = \frac{150}{6\sqrt5} = \frac{25}{\sqrt5} = 5\sqrt5
Bunun sonucunda:
h_1 = 30/(5\sqrt5)=6/\sqrt5
h_2 = 120/(5\sqrt5)=24/\sqrt5
ve h_1+h_2=(6+24)/\sqrt5=30/\sqrt5=6\sqrt5 kontrolü sağlar.
4. Dış Çevre Uzunluğunun Hesaplanması
Dışta tüm şekil, genişlik 6\sqrt5 + 5\sqrt5 = 11\sqrt5, yükseklik 6\sqrt5 olan bir dikdörtgen gibidir.
Çevre:
P = 2\bigl(11\sqrt5 + 6\sqrt5\bigr)
= 2\cdot 17\sqrt5
= 34\sqrt5
5. Gerekli Çam Fidanı Sayısı
Fidanlar dış çevre boyunca √5 m aralıklarla dikileceğine göre,
her bir √5 m’ye bir fidan → toplam fidan sayısı
$
\frac{P}{\sqrt5}
\frac{34\sqrt5}{\sqrt5}
= 34
$
Cevap: En az 34 çam fidanı gereklidir.
Özet Tablosu:
| Bahçe | Alan (m²) | Ölçüler |
|---|---|---|
| A | 180 | 6\sqrt5\times6\sqrt5 |
| B | 30 | 5\sqrt5\times\frac{6}{\sqrt5} |
| C | 120 | 5\sqrt5\times\frac{24}{\sqrt5} |
| Dış Çevre | — | 34\sqrt5 m → 34 fidan |
A bahçesi kare, B ve C bahçeleri dikdörtgendir. Bahçelerin dış çevrelerine \sqrt{5} m aralıklarla çam fidanı dikileceğine göre en az kaç tane çam fidanı gereklidir?
Sorunun Anlaşılması ve Verilenler:
- A bahçesi kare ve alanı 180 \, m^2.
- B bahçesi dikdörtgen ve alanı 30 \, m^2.
- C bahçesi dikdörtgen ve alanı 120 \, m^2.
- Bahçelerin dış çevrelerine \sqrt{5} metre aralıklarla çam fidanı dikilecek.
Amaç:
Bahçelerin dış çevrelerinin toplam uzunluğunu bulup, bu çevre boyunca \sqrt{5} metre aralıklarla kaç tane çam fidanı dikileceğini hesaplamak.
Çözüm Adımları
1. Bahçelerin kenar uzunluklarını bulalım.
A Bahçesi (Kare)
Alanı 180 \, m^2 ise bir kenar uzunluğu:
a = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6 \sqrt{5} \, m
Çevresi:
P_A = 4a = 4 \times 6 \sqrt{5} = 24 \sqrt{5} \, m
B Bahçesi (Dikdörtgen)
Alanı 30 \, m^2.
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulmak için elimizde sadece alan var. Ancak soruda B ve C bahçelerinin alanları toplamı 150 m² (30 + 120), ve A bahçesi kare, alanı 180 m².
Burada önemli bir ipucu var: Soruda bahçeler yan yana veya belirli bir şekilde konumlandırılmış olabilir. Ancak elimizde sadece alan bilgisi var.
Fakat soruda bahçelerin dış çevrelerine fidan dikileceği belirtiliyor. Bahçeler ayrı ayrı düşünülecek.
B bahçesinin kenar uzunluklarını bulmak için alanı 30 m² olan bir dikdörtgenin kenarlarını bulalım.
Ancak çevreyi bulmak için kenar uzunlukları lazım. Soruda başka bilgi yok, ancak B ve C bahçelerinin alanları 30 ve 120 m² olarak verilmiş.
Burada dikdörtgenlerin kenar uzunluklarının kare kökleriyle ifade edilmesi ve \sqrt{5} ile bağlantılı olması muhtemel.
2. B ve C bahçelerinin kenar uzunluklarını \sqrt{5} cinsinden bulalım.
Örnek olarak, B bahçesinin kenar uzunluklarını x ve y olarak alalım.
x \times y = 30
Benzer şekilde C bahçesi için:
m \times n = 120
Eğer kenar uzunlukları \sqrt{5} ile orantılı ise, örneğin:
x = a \sqrt{5}, \quad y = b \sqrt{5}
O zaman:
x \times y = a b \times 5 = 30 \implies a b = \frac{30}{5} = 6
Benzer şekilde C için:
m = c \sqrt{5}, \quad n = d \sqrt{5} \implies c d \times 5 = 120 \implies c d = 24
3. En küçük çevreyi bulmak için kenarların toplamını minimize edelim.
Dikdörtgenin çevresi:
P = 2(x + y) = 2 \sqrt{5} (a + b)
a b = 6 için a + b'nin minimum değeri, a = b = \sqrt{6} olduğunda olur.
Bu durumda:
a + b = 2 \sqrt{6}
Çevre:
P_B = 2 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{6} = 4 \sqrt{30}
Benzer şekilde C için:
c d = 24
Minimum c + d için c = d = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}.
Toplam:
c + d = 2 \times 2 \sqrt{6} = 4 \sqrt{6}
Çevre:
P_C = 2 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{6} = 8 \sqrt{30}
4. Bahçelerin toplam çevresi:
P_\text{toplam} = P_A + P_B + P_C = 24 \sqrt{5} + 4 \sqrt{30} + 8 \sqrt{30}
= 24 \sqrt{5} + 12 \sqrt{30}
5. Fidan sayısını hesaplayalım.
Fidanlar \sqrt{5} metre aralıklarla dikilecek.
Toplam fidan sayısı:
N = \frac{P_\text{toplam}}{\sqrt{5}} = \frac{24 \sqrt{5} + 12 \sqrt{30}}{\sqrt{5}} = 24 + 12 \times \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}} = 24 + 12 \sqrt{6}
Çünkü:
\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{30}{5}} = \sqrt{6}
Yaklaşık değer:
\sqrt{6} \approx 2.449
O halde:
N \approx 24 + 12 \times 2.449 = 24 + 29.388 = 53.388
6. Fidan sayısı tam sayı olmalı, ayrıca çevrenin başlangıç ve bitiş noktası aynı olduğundan fidan sayısı çevre uzunluğuna bölünüp 1 eklenebilir.
Ancak soruda “en az kaç tane” deniyor, genellikle çevre uzunluğunu aralık mesafesine bölüp tam sayı olarak yukarı yuvarlama yapılır.
Burada yaklaşık 54 fidan gerekir.
Ancak soruda verilen seçenekler:
- A) 17
- B) 27
- C) 32
- D) 34
Bu sonuçlarla uyuşmuyor.
Alternatif Yaklaşım:
Belki bahçeler yan yana ve toplam çevreyi değil, sadece dış çevreyi hesaplamamız gerekiyor.
Bahçeler yan yana konulursa, toplam dış çevre daha az olur.
7. Bahçelerin şekillerini ve alanlarını kullanarak kenar uzunluklarını bulalım.
A bahçesi (kare):
a = \sqrt{180} = 6 \sqrt{5}
B bahçesi (dikdörtgen):
Alan = 30
Kenarları x ve y, x y = 30
C bahçesi (dikdörtgen):
Alan = 120
Kenarları m ve n, m n = 120
8. Bahçelerin yan yana dizildiğini varsayalım.
Örneğin, A, B ve C bahçeleri yan yana dizilmiş.
Toplam dış çevre:
- Üst kenar: A’nın üst kenarı + B’nin üst kenarı + C’nin üst kenarı
- Alt kenar: A’nın alt kenarı + B’nin alt kenarı + C’nin alt kenarı
- Sol kenar: A’nın sol kenarı
- Sağ kenar: C’nin sağ kenarı
9. Kenar uzunluklarını bulalım.
A kare, kenar 6 \sqrt{5}.
B ve C dikdörtgen, kenarlarını bulalım.
B’nin kenarlarını \sqrt{5} cinsinden yazalım:
x = a \sqrt{5}, \quad y = b \sqrt{5}
a b = \frac{30}{5} = 6
Benzer şekilde C için:
m = c \sqrt{5}, \quad n = d \sqrt{5}
c d = \frac{120}{5} = 24
10. Bahçeler yan yana dizildiğinde, ortak kenarlar birleşir.
Örneğin, A’nın sağ kenarı 6 \sqrt{5}, B’nin sol kenarı x = a \sqrt{5}.
Eğer a = 6, B’nin diğer kenarı b = 1 (çünkü 6 \times 1 = 6 değil, 6 × 1 = 6, ama 6 × 1 = 6, ama alan 30, o zaman a b = 6 değil, 6 × 1 = 6, ama alan 30, o zaman a b = 6)
Burada karışıklık var.
11. Daha basit çözüm için:
- A bahçesi kare, kenar uzunluğu 6 \sqrt{5}.
- B bahçesi alanı 30, kenar uzunlukları x ve y.
- C bahçesi alanı 120, kenar uzunlukları m ve n.
Bahçeler yan yana dizilmiş ve dış çevreleri:
P = 2 \times (A_\text{yükseklik} + B_\text{yükseklik} + C_\text{yükseklik}) + (A_\text{genişlik} + B_\text{genişlik} + C_\text{genişlik})
Ama bu bilgi soruda yok.
12. Sonuç:
Soruda verilen alanlar ve şekillerden yola çıkarak, bahçelerin dış çevrelerine \sqrt{5} m aralıklarla fidan dikileceği belirtilmiş.
Bahçelerin çevrelerini hesaplayalım:
| Bahçe | Alan (m^2) | Şekil | Kenar Uzunluğu (m) | Çevre (m) |
|---|---|---|---|---|
| A | 180 | Kare | 6 \sqrt{5} | 4 \times 6 \sqrt{5} = 24 \sqrt{5} |
| B | 30 | Dikdörtgen | Bilinmiyor | Bilinmiyor |
| C | 120 | Dikdörtgen | Bilinmiyor | Bilinmiyor |
13. B ve C bahçelerinin kenar uzunluklarını bulalım.
B’nin alanı 30, kenar uzunlukları x ve y.
Çevresi: 2(x + y).
Alanı 30 olduğuna göre, çevre minimum olduğunda x = y = \sqrt{30} \approx 5.477.
Çevre:
P_B = 2(x + y) = 4 \times 5.477 = 21.908
C için alan 120, kenar uzunlukları m ve n.
Minimum çevre için m = n = \sqrt{120} \approx 10.954.
Çevre:
P_C = 2(m + n) = 4 \times 10.954 = 43.816
14. Toplam çevre:
P_\text{toplam} = P_A + P_B + P_C = 24 \sqrt{5} + 21.908 + 43.816
24 \sqrt{5} \approx 24 \times 2.236 = 53.664
Toplam:
53.664 + 21.908 + 43.816 = 119.388 \, m
15. Fidan sayısı:
N = \frac{P_\text{toplam}}{\sqrt{5}} = \frac{119.388}{2.236} \approx 53.4
16. Fidan sayısı en az tam sayı olmalı, yani 54.
Sonuç:
Sorunun seçenekleri arasında 54 yok. Bu nedenle soruda bahçelerin dış çevrelerinin toplamı değil, sadece A bahçesinin çevresi veya başka bir bahçenin çevresi soruluyor olabilir.
Özet Tablosu
| Bahçe | Alan (m^2) | Kenar Uzunluğu (m) | Çevre (m) | Fidan Sayısı (\frac{\text{Çevre}}{\sqrt{5}}) |
|---|---|---|---|---|
| A | 180 | 6 \sqrt{5} \approx 13.416 | 24 \sqrt{5} \approx 53.664 | \approx 24 |
| B | 30 | \sqrt{30} \approx 5.477 | \approx 21.908 | \approx 10 |
| C | 120 | \sqrt{120} \approx 10.954 | \approx 43.816 | \approx 20 |
| Toplam | - | - | \approx 119.388 | \approx 54 |
Sonuç:
- Bahçelerin dış çevrelerine \sqrt{5} m aralıklarla fidan dikileceğine göre toplamda yaklaşık 54 fidan gerekir.
- Soruda verilen seçenekler arasında en yakın olan 34 (D şıkkı) olabilir, ancak hesaplamalar bunu desteklemiyor.
- Eğer sadece A bahçesinin çevresi soruluyorsa, fidan sayısı yaklaşık 24 olur (A şıkkı 17’ye yakın).
- Sorunun tam metni ve bahçelerin konumu net değilse, kesin cevap zor.
Öneri: Sorunun tam metni ve bahçelerin konumu netleştirilirse daha kesin çözüm yapılabilir.