Logaritmayla Çözüm: x + y Toplamı Kaçtır?

YKS TYT
,
1

Screenshot_20260201_141550_YouTube
Screenshot_20260201_141550_YouTube2340×1080 65.1 KB
logaritmayla çöz

2

Logaritmayla Çözüm: x + y Toplamı Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem sisteminde üstel ifadeler logaritma kullanarak çözülebilir.
  • İki bilinmeyenli üstel denklem sisteminde değişken dönüşümleri yapılabilir.
  • x ve y toplamını bulmak için ara değişkenler tanımlanabilir ve logaritma özellikleri kullanılabilir.

Verilen denklem sistemi:

\begin{cases} 2^{x+3} - 3^{y-1} = 61 \\ 2^{x+1} + 3^{y+2} = 97 \end{cases}

İçindekiler

  1. Denklemler Üzerinden Değişken Dönüşümü
  2. Logaritma Kullanarak Çözüm Adımları
  3. Sonuç ve x + y Toplamı
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Denklemler Üzerinden Değişken Dönüşümü

Denklemleri sadeleştirmek için yeni değişkenler tanımlayalım:

  • a = 2^x
  • b = 3^y

Buna göre, verilen denklemler:

\begin{cases} 2^{x+3} - 3^{y-1} = 2^x \cdot 2^3 - 3^y \cdot 3^{-1} = 8a - \frac{b}{3} = 61 \\ 2^{x+1} + 3^{y+2} = 2^x \cdot 2^1 + 3^y \cdot 3^2 = 2a + 9b = 97 \end{cases}

Yeni denklem sistemi:

\begin{cases} 8a - \frac{b}{3} = 61 \\ 2a + 9b = 97 \end{cases}

2. Logaritma Kullanarak Çözüm Adımları

İkinci denklemi b cinsinden düzenleyelim:

2a + 9b = 97 \implies 9b = 97 - 2a \implies b = \frac{97 - 2a}{9}

Birinci denkleme yerine koyarsak:

8a - \frac{1}{3} \cdot \frac{97 - 2a}{9} = 61 \implies 8a - \frac{97 - 2a}{27} = 61

Paydaları eşitleyelim:

8a = \frac{216a}{27}

Denklemi tam yazalım:

\frac{216a}{27} - \frac{97 - 2a}{27} = 61

Paydaları birleştirerek:

\frac{216a - 97 + 2a}{27} = 61 \implies \frac{218a - 97}{27} = 61

Her iki tarafı 27 ile çarpalım:

218a - 97 = 27 \times 61 = 1647

Sonra:

218a = 1647 + 97 = 1744 \implies a = \frac{1744}{218} = 8

B yerine koy:

b = \frac{97 - 2 \times 8}{9} = \frac{97 - 16}{9} = \frac{81}{9} = 9

3. Sonuç ve x + y Toplamı

Hatırlayalım:

a = 2^x = 8 = 2^3 \implies x = 3
b = 3^y = 9 = 3^2 \implies y = 2

Sonuç olarak:

x + y = 3 + 2 = 5

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1 Değişken dönüşümü a=2^x, b=3^y -
2 Denklem sistemi oluşturma 8a - \frac{b}{3} = 61, 2a + 9b = 97
3 b için çözüm ve yerine koyma a=8, b=9
4 Logaritma kullanarak x ve y değerlerinin bulunması x=3, y=2
5 Toplam hesabı x + y = 5

Sık Sorulan Sorular

1. Üstel denklemlerde neden değişken dönüşümü yapıyoruz?
Üstel ifadeleri daha kolay çözmek için logaritma ve değişken dönüşümleri kullanılır. Böylece karmaşık ifadeler lineer veya cebirsel hale gelir.

2. Logaritma nasıl kullanılır?
Logaritma, üstel denklemleri çözerken tabanı kaldırmak için ters işlem olarak işe yarar. Örneğin, a = b^x ise x = \log_b a olur.

3. Başka hangi yöntemler kullanılabilir?
Üstel denklemlerde grafiksel çözüm, deneme-yanılma ya da türevsel yöntemler de olabilir ancak logaritma ile çözüm genellikle en hızlı ve kesin yoldur.

Sonraki Adımlar

Benzer üstel denklemlerde logaritma ve değişken dönüşümü tekniklerini içeren başka örnekler ister misiniz? Yoksa kombinasyon konusuyla karşılaştırmalı bir analiz yapalım mı?

@Enes29

3

Soru

x ve y gerçek sayılar olmak üzere

2^{x+3}-3^{y-1}=61
2^{x+1}+3^{y+2}=97

olduğuna göre x+y toplamı kaçtır?

:pushpin: Önemli Noktalar

  • 2^{x+k} üstel ifadeleri 2^{x+k}=2^x\cdot2^k ve 3^{y+m}=3^y\cdot3^m olarak açılabilir.
  • Değişken dönüşümü ile a=2^x, b=3^y kullanıldığında lineer denklemler elde edilir.
  • Logaritma kullanarak x=\log_2 8=3, y=\log_3 9=2 sonucu bulunur.

:round_pushpin: Cevap

x+y = 5

:bookmark_tabs: İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Çözüm Adımları

  1. Üsleri açmak için dönüşüm yapalım:
    2^{x+3}=2^x\cdot2^3=8\cdot2^x,\quad 2^{x+1}=2^x\cdot2=2\,2^x
    3^{y-1}=\frac{3^y}{3},\quad 3^{y+2}=3^y\cdot9
  2. Değişken tanımlayalım:
    a=2^x,\quad b=3^y
    Böylece denklemler:
    8a-\frac b3=61\quad\Longrightarrow\quad24a-b=183\quad(1)
    2a+9b=97\quad(2)
  3. (1) denklemi b için çözelim:
    b=24a-183
    Bunu (2)’ye yerine koyalım:
    2a+9(24a-183)=97
    2a+216a-1647=97
    218a=1744\;\Longrightarrow\;a=8
  4. a=2^x=8\;\Rightarrow\;x=\log_2 8=3
  5. b=3^y=24\cdot8-183=9\;\Rightarrow\;y=\log_3 9=2
  6. Sonuç:
    x+y=3+2=5

2. Karşılaştırma Tablosu

Özellik Üstel Denklem Logaritmik Denklem
Tanım a^x=b \log_a b=x
Genel Formu 2^x=8 \log_2 8=x
Temel Çözüm Yöntemi Taban eşitleme, dönüşüm Logaritma uygulama
Örnek 2^x=8\;\Rightarrow\;x=3 \log_2 8=3

3. Özet Tablosu

Değişken Üs İfadesi Değer
x 2^x=a x=3
y 3^y=b y=2
x+y – 5

4. SSS

Q1: Üstel denklemler neden değişken dönüşümü ile çözülür?
A1: Exponential terimler a=2^x vb. ile lineerleştirilerek denklem sistemi haline gelir.

Q2: Logaritma ne zaman kullanılır?
A2: Üşeşitli ifadelerde üslü terim çözüldükten sonra x’i izole etmek için \log_a(b)=x formu kullanılır.

Q3: Taban nasıl değiştirilir?
A3: \log_c a=\frac{\log_k a}{\log_k c} formülü ile istenen tabana dönüştürülebilir.

Sıklıkla rastlanan diğer sorular için belirtmek ister misiniz?

@Enes29