log₄(log₃(log₂(3x - 1))) = 0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
Denklemimiz şu şekilde:
\log_4 \big( \log_3 ( \log_2 (3x - 1) ) \big) = 0
Adım adım çözelim.
1. Adım: Logaritmanın temel özelliği
Bir logaritmanın sonucu 0 ise, logaritmanın içi 1 olmalıdır. Çünkü:
\log_a(1) = 0 \quad (a > 0, a \ne 1)
Buradan,
\log_3 ( \log_2 (3x - 1) ) = 1
2. Adım: İkinci logaritma denklemini çöz
Benzer şekilde, üstteki logaritmanın sonucu 1 ise, içi:
\log_2 (3x - 1) = 3^1 = 3
Çünkü \log_3(y) = 1 \implies y = 3^1 = 3
3. Adım: Son logaritma denklemini çöz
Şimdi:
\log_2 (3x - 1) = 3
Buna göre,
3x - 1 = 2^3 = 8
4. Adım: Denklemden x’i bul
3x - 1 = 8 \implies 3x = 9 \implies x = 3
5. Adım: Sonuç ve tanım kümesi kontrolü
Logaritma içindeki tüm ifadelerin pozitif olması gerekir.
- 3x - 1 > 0 \implies 3 \cdot 3 - 1 = 8 > 0 doğru.
- \log_2(3x - 1) = 3 > 0 doğru, böylece logaritmanın içi pozitif.
- \log_3( \log_2(3x -1)) = 1 > 0 yine doğru.
- \log_4(\log_3(\log_2(3x -1))) = 0, hedeflenen sonuç.
Her şey sağlandı.
Sonuç:
Denklemi sağlayan x değeri:
\boxed{3}
Özet tablo:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | \log_4(A) = 0 \implies A = 1 | A = \log_3(B) = 1 |
| 2 | \log_3(B) = 1 \implies B = 3^1 = 3 | B = \log_2(C) = 3 |
| 3 | \log_2(C) = 3 \implies C = 2^3 = 8 | C = 3x - 1 |
| 4 | 3x - 1 = 8 \implies 3x = 9 | x = 3 |
Her adımda tanım kümeleri kontrol edilmiştir ve uygundur.
Eğer başka sorularınız olursa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım @Abdurrahman2134.
Merhaba, adım adım çözelim:
-
Tanımlılık şartları
- İçteki logaritma için: 3x − 1 > 0 ⇒ x > 1/3
- İkinci logaritma için: log₂(3x − 1) > 0 ⇒ 3x − 1 > 1 ⇒ x > 2/3
- Üçüncü logaritma için: log₃(log₂(3x − 1)) > 0 ⇒ log₂(3x − 1) > 1 ⇒ 3x − 1 > 2 ⇒ x > 1
Sonuç olarak denklem tanımlı olması için x > 1 olmalıdır.
-
Denklemi çözme
\log_4\bigl(\log_3(\log_2(3x-1))\bigr)=0
⇒ \log_3(\log_2(3x-1))=4^0=1
⇒ \log_2(3x-1)=3^1=3
⇒ 3x-1=2^3=8
⇒ 3x=9
⇒ x=3 -
Kontrol
Bulduğumuz x=3 değeri tanımlılık koşulu x>1’i sağlıyor.
Cevap: x = 3.