Logaritma sorusuu: Denklemi sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

YKS TYT YKS Matematik
1

IMG_6304
IMG_63043024×932 386 KB

2

Logaritma sorusuu: Denklemi sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

Verilen Denklem:

\log_{(2x+3)}(x^2 + 10x + 25) + \log_{(x+5)}(2x^2 + 13x + 15) = 4

Amaç:

Denklemi sağlayan x değerlerinin toplamını bulmak.

Çözüm Adımları:

1. Logaritma içindeki ifadeleri çarpanlarına ayıralım:

  • x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2
  • 2x^2 + 13x + 15 ifadesini çarpanlarına ayıralım:
2x^2 + 13x + 15 = (2x + 3)(x + 5)

2. Denklemi yeniden yazalım:

\log_{(2x+3)}((x + 5)^2) + \log_{(x+5)}((2x + 3)(x + 5)) = 4

3. Logaritma özelliklerini kullanalım:

  • \log_a(b^c) = c \log_a b
  • \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c

İlk terim:

\log_{(2x+3)}((x + 5)^2) = 2 \log_{(2x+3)}(x + 5)

İkinci terim:

\log_{(x+5)}((2x + 3)(x + 5)) = \log_{(x+5)}(2x + 3) + \log_{(x+5)}(x + 5)

Ama \log_{(x+5)}(x + 5) = 1 (taban ile aynı sayı)

4. Denklemi düzenleyelim:

2 \log_{(2x+3)}(x + 5) + \log_{(x+5)}(2x + 3) + 1 = 4

Buradan:

2 \log_{(2x+3)}(x + 5) + \log_{(x+5)}(2x + 3) = 3

5. Logaritma taban değişimi formülünü kullanalım:

\log_a b = \frac{\log b}{\log a}

Burada logaritmanın tabanı herhangi bir ortak logaritma olabilir (örneğin doğal logaritma).

Buna göre:

2 \cdot \frac{\log(x+5)}{\log(2x+3)} + \frac{\log(2x+3)}{\log(x+5)} = 3

6. Değişkenleri sadeleştirelim:

a = \log(x+5), \quad b = \log(2x+3)

Denklem:

2 \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 3

7. Denklemi ortak payda ile yazalım:

2 \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{2a^2 + b^2}{ab} = 3

Yani:

2a^2 + b^2 = 3ab

8. Denklemi düzenleyelim:

2a^2 - 3ab + b^2 = 0

9. Bu bir a cinsinden ikinci dereceden denklem:

2a^2 - 3ab + b^2 = 0

a'yı çözelim:

a = \frac{3b \pm \sqrt{(3b)^2 - 4 \cdot 2 \cdot b^2}}{2 \cdot 2} = \frac{3b \pm \sqrt{9b^2 - 8b^2}}{4} = \frac{3b \pm b}{4}

10. İki kök vardır:

  • a = \frac{3b + b}{4} = b
  • a = \frac{3b - b}{4} = \frac{2b}{4} = \frac{b}{2}

11. İlk durum: a = b

\log(x+5) = \log(2x+3) \implies x + 5 = 2x + 3 \implies x = 2

12. İkinci durum: a = \frac{b}{2}

\log(x+5) = \frac{1}{2} \log(2x+3) \implies \log(x+5)^2 = \log(2x+3)

Yani:

(x+5)^2 = 2x + 3

13. Denklemi çözelim:

(x+5)^2 = 2x + 3
x^2 + 10x + 25 = 2x + 3
x^2 + 10x + 25 - 2x - 3 = 0
x^2 + 8x + 22 = 0

14. Diskriminant:

\Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 64 - 88 = -24 < 0

Gerçek kök yok.

15. Geçerli kök sadece x=2.

16. Logaritma tanımlama koşullarını kontrol edelim:

  • 2x + 3 > 0 \implies 2(2) + 3 = 7 > 0 (tamam)

  • x + 5 > 0 \implies 2 + 5 = 7 > 0 (tamam)

  • Logaritmanın içleri pozitif olmalı:

    • (x+5)^2 > 0 (her zaman pozitif)
    • (2x+3)(x+5) > 0 (7*7=49 > 0)

17. Sonuç:

Denklemi sağlayan tek gerçek sayı x=2.

Cevap:

x Değerleri Toplamı
2 2

Doğru cevap: A) 2

@aylina789

3

Çözüm

Verilen denklem:
[
\log_{(2x+3)}\bigl(x^2+10x+25\bigr);+;\log_{(x+5)}\bigl(2x^2+13x+15\bigr);=;4
]
Önce ifadeleri çarpanlarına ayıralım ve basitleştirelim:

  1. (x^2+10x+25=(x+5)^2)
  2. (2x^2+13x+15=(2x+3)(x+5))

Buna göre denklem:
[
\log_{(2x+3)}\bigl((x+5)^2\bigr);+;\log_{(x+5)}\bigl((2x+3)(x+5)\bigr)=4
]

[
\begin{aligned}
&\log_{(2x+3)}( (x+5)^2 ) ;=;2,\log_{(2x+3)}(x+5)
;=;2,\frac{1}{\log_{(x+5)}(2x+3)},\
&\log_{(x+5)}\bigl((2x+3)(x+5)\bigr)
=\log_{(x+5)}(2x+3);+;\log_{(x+5)}(x+5)
=\log_{(x+5)}(2x+3)+1.
\end{aligned}
]

Böylece denklem
[
\frac{2}{\log_{(x+5)}(2x+3)}
;+;\bigl(\log_{(x+5)}(2x+3)+1\bigr)
;=;4
]
olur.
[
\text{Let }t=\log_{(x+5)}(2x+3).
]
Denklem (2/t + (t+1)=4) biçimine dönüşür:
[
\frac{2}{t}+t+1=4
\quad\Longrightarrow\quad
t^2-3t+2=0
\quad\Longrightarrow\quad
(t-1)(t-2)=0
]
Buradan (t=1) veya (t=2).

  • (t=1) için
    (\log_{(x+5)}(2x+3)=1\implies 2x+3=x+5\implies x=2).
  • (t=2) için
    (\log_{(x+5)}(2x+3)=2\implies 2x+3=(x+5)^2)
    (; \Rightarrow x^2+8x+22=0)
    Bu denklemin gerçek kökü yoktur.

Sonuç olarak denklemi sağlayan tek gerçek değer (x=2)’dir.
Bu değerin toplamı = 2.

Yanıt: A) 2