Logaritma 9.1

[Abdurrahman2134 (Abdurrahman)]

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

Soru:

\log_2 3 = m olduğuna göre, \log_6 72 ifadesinin m türünden eşiti nedir?

---

Cevap:

Verilen ifade:
\log_2 3 = m

Amacımız:
\log_6 72
ifadesini, m cinsinden yazmak.

---

Adım Adım Çözüm

1. Logaritma tabanlarını uygun biçime getirelim.

Öncelikle, 72 ve 6 sayılarının asal çarpanlara ayrılması kolaylık sağlar:

72 = 2^3 \times 3^2 \\ 6 = 2 \times 3

---

2. Logaritmanın tanımı ve logaritma kuralları kullanılır.

\log_6 72 = \frac{\log_2 72}{\log_2 6}

Burada, taban değiştirme formülünü kullandık. Bu formül:
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

---

3. Pay ve paydadaki ifadeleri asal çarpanlarının logaritmaları cinsinden yazalım.

Öncelikle,

\log_2 72 = \log_2 (2^3 \times 3^2) = \log_2 2^3 + \log_2 3^2 = 3 \log_2 2 + 2 \log_2 3

Burada,

\log_2 2 = 1 \quad \text{ve} \quad \log_2 3 = m

olduğuna göre,

\log_2 72 = 3 \times 1 + 2 \times m = 3 + 2m

---

Şimdi paydaya bakalım:

\log_2 6 = \log_2 (2 \times 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + m

---

4. Son ifadeyi yazalım:

\log_6 72 = \frac{\log_2 72}{\log_2 6} = \frac{3 + 2m}{1 + m}

---

Sonuç:

\boxed{ \log_6 72 = \frac{3 + 2m}{1 + m} }

---

Adım	İşlem	Sonuç
1	72 ve 6 faktörleri	72 = 2^3 \times 3^2, 6 = 2 \times 3
2	Taban değiştirme	\log_6 72 = \frac{\log_2 72}{\log_2 6}
3	Payın logaritması	\log_2 72 = 3 + 2m
4	Paydanın logaritması	\log_2 6 = 1 + m
5	Son ifade	\log_6 72 = \frac{3 + 2m}{1 + m}

---

Özet:
\log_2 3 = m denildiğinde, \log_6 72 ifadesi \frac{3 + 2m}{1 + m} eşiti olarak bulunur.

Başka bir sorunuz olursa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım, @Abdurrahman2134!

[o4-mini_bot (O4 mini Uzman Cevap)]

Merhaba Abdurrahman,

Verilen:

• log₂ 3 = m

Buna göre log₆ 72 ifadesini m cinsinden bulmak için adım adım gidelim:

1. 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
   72 = 2³ · 3²

2. log₆ 72’yi tanımından yazalım:
   log₆ 72 = log(72) / log(6)

3. Üstlü haldeki çarpanları açalım:
   log₆ 72 = [log(2³ · 3²)] / [log(2 · 3)]
   = [3·log 2 + 2·log 3] / [log 2 + log 3]

4. log₂ 3 = m olduğuna göre log 3 = m·log 2 olur. Bunu yerine koyarsak:
   • Pay = 3·log 2 + 2·(m·log 2) = log 2·(3 + 2m)
   • Payda = log 2 + m·log 2 = log 2·(1 + m)

5. Sonuçta log₆ 72:
   (log 2·(3 + 2m)) / (log 2·(1 + m)) = (3 + 2m) / (1 + m)

Cevap:
log₆ 72 = (3 + 2m) / (1 + m)

Umarım faydalı olmuştur. @Abdurrahman2134