5^{\log_x 3} + 3^{\log_x 5} = 50 denkleminde x değerini bulmak
Verilen denklem:
5^{\log_x 3} + 3^{\log_x 5} = 50
Amacımız: bu denklemi sağlayan x değerini bulmak.
1. Logaritma ve üstel ifadelerin dönüşümü
Öncelikle, üstel ifadenin tabanları ve logaritma arasındaki ilişkiyi kullanarak ifadeleri sadeleştirebiliriz.
Hatırlayalım:
- a^{\log_b c} = c^{\log_b a} eşitliği vardır.
Ama burada hemen farklı yoldan ilerlemek daha kolay olabilir.
2. Değişken tanımlama ve işlem
Deneme yapalım:
Şu ifadeleri yazalım:
A = \log_x 3
B = \log_x 5
O halde denklem:
5^A + 3^B = 50
Fakat A ve B arasında bir ilişki var. Çünkü,
A = \log_x 3 \implies x^A = 3
B = \log_x 5 \implies x^B = 5
İki ifadeden de:
- x^A = 3
- x^B = 5
Ayrıca logaritmanın özelliklerinden,
\log_x 3 = \frac{\log 3}{\log x}
\log_x 5 = \frac{\log 5}{\log x}
Burada logaritma tabanı ne olursa olsun (örneğin 10 veya e), oran aynı kalır.
3. Alternatif yaklaşım, eksponentlerin tersini kullanma
Denklemi sadeleştirmek için, 5^{\log_x 3} ifadesini aşağıdaki şekilde yazabiliriz:
Not: Üstel ve logaritmik işlemler için:
a^{\log_b c} = c^{\log_b a}
Örneği:
5^{\log_x 3} = 3^{\log_x 5}
İki terim birbirine eşittir!
Bu durumda, denklemi yazarsak:
5^{\log_x 3} + 3^{\log_x 5} = 3^{\log_x 5} + 3^{\log_x 5} = 2 \times 3^{\log_x 5} = 50
Böylece:
2 \times 3^{\log_x 5} = 50
3^{\log_x 5} = 25
Ancak 3^{\log_x 5} ifadesini aşağıdaki gibi de yazabiliriz.
Hatırlayalım ki:
3^{\log_x 5} = e^{\log (3) \cdot \log_x 5}
Ama daha basit bir yöntem olarak:
3^{\log_x 5} = (x^{\log_x 3})^{\log_x 5} = ?
Bu biraz karmaşık olabilir, o yüzden farklı bir yöntem deneyelim.
4. Logaritmik yöntemle çözüm
Denekleyelim,
5^{\log_x 3} = e^{\log 5 \cdot \log_x 3} = e^{ \log 5 \cdot \frac{\log 3}{\log x}}
3^{\log_x 5} = e^{\log 3 \cdot \log_x 5} = e^{\log 3 \cdot \frac{\log 5}{\log x}}
Görüyoruz ki iki terim eşittir; çünkü \log 5 \cdot \log 3 = \log 3 \cdot \log 5.
Bu nedenle 5^{\log_x 3} = 3^{\log_x 5}.
5. Denklemde sadeleşme
Denklem:
5^{\log_x 3} + 3^{\log_x 5} = 2 \times 5^{\log_x 3} = 50
Böylece,
2 \times 5^{\log_x 3} = 50 \implies 5^{\log_x 3} = 25
6. Üs eşitliği çözümü
5^{\log_x 3} = 25
25 = 5^2 olduğu için,
5^{\log_x 3} = 5^2
Tabanlar aynı, üsler eşit olmalı:
\log_x 3 = 2
7. Logaritmanın anlamı
\log_x 3 = 2 \implies x^2 = 3
Buradan,
x = \sqrt{3} \quad (>0)
Sonuç:
Denklemi sağlayan x değeri:
\boxed{x = \sqrt{3}}
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Denklem | 5^{\log_x 3} + 3^{\log_x 5} = 50 | Başlangıç |
| Eşitlik | 5^{\log_x 3} = 3^{\log_x 5} | İki terim eşit |
| Sadeleştirme | 2 \times 5^{\log_x 3} = 50 | Toplam terim |
| Üs eşitleme | 5^{\log_x 3} = 25 = 5^2 | Tabandan üs eşitliği |
| Üs olarak eşitleme | \log_x 3 = 2 | Üs eşitliği |
| x ifadesini çıkarma | x^2 = 3 | Logaritma tanımı |
| Nihai sonuç | x = \sqrt{3} | Sonuç |
Eğer daha fazla açıklama veya başka bir sorunuz varsa, memnuniyetle yardımcı olurum. @Abdurrahman2134
Soru:
5logₓ 3 + 3logₓ 5 = 50 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm Adımları
1. alogᵦ c = clogᵦ a Özelliği
Logaritma ve üs içeren ifadelerde sıkça kullandığımız önemli bir özelliktir:
alogᵦ c = clogᵦ a
Buna göre:
5logₓ 3 = 3logₓ 5
2. Denklemin Sadeleşmesi
Orijinal denklemimiz:
5logₓ 3 + 3logₓ 5 = 50
Özellikten dolayı iki terim eşittir; dolayısıyla:
2·5logₓ 3 = 50
5logₓ 3 = 25
3. Üst–logaritma Dönüşümü
25 = 5² olduğuna göre:
5logₓ 3 = 5²
⇒ logₓ 3 = 2
4. x’in Bulunması ve Tabân Koşulları
logₓ 3 = 2 ise:
x² = 3
x = ±√3
Ancak logaritmanın tanımına göre taban
- Pozitif olmalı (x > 0)
- 1’e eşit olmamalı (x ≠ 1)
Bunları sağladığı için tek geçerli çözüm:
x = √3
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Özellik kullanımı | 5logₓ 3 = 3logₓ 5 | |
| 2. Denklemin sadeleşmesi | 2·5logₓ 3 = 50 → 5logₓ 3 = 25 | |
| 3. Üst–log dönüşümü | 5logₓ 3 = 5² → logₓ 3 = 2 | |
| 4. x değeri ve şartlar | x² = 3, x > 0, x ≠ 1 | x = √3 |
Cevap: x = √3
Kolay gelsin @Abdurrahman2134!